גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $y=-x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=-1(x-(-2))$, כלומר $y=-1x+1$.
2. $45^\circ$ — $\tan\theta = \frac{5}{5} = 1$, ולכן $\theta = 45^\circ$.
3. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-(0)}{2-(0)} = \frac{6}{2} = 3$.
4. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$.
5. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{2}$.
6. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
7. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
8. $45^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 45^\circ$.
9. $(2,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(2,2)$.
10. $\frac{50}{\sqrt{3}}$ — גובה $= 50\tan 30^\circ = 50\cdot\frac{1}{\sqrt3} = \frac{50}{\sqrt3}$ מטר.
11. $y=-x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=-1(x-(4))$, כלומר $y=-1x+5$.
12. $y=4x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=4(x-(1))$, כלומר $y=4x-3$.
13. $\frac{4}{5}$ — היחס $\frac{4}{3}$ מתאים למשולש $3,4,5$, ולכן $\sin\theta=\frac{4}{5}$.
14. $12$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot24=12$.
15. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
16. $(1,1),\ r=8$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,1)$ והרדיוס $r=\sqrt{64}=8$.
17. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
18. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$.
19. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(2)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+5$.
20. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-(1)}{6-(3)} = \frac{6}{3} = 2$.
21. $(5,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+10}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(5,2)$.
22. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-(-2)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
23. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
24. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=3$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{3}$.
25. $13$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
26. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
27. $m=4$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $4$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $4$.
28. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
29. $\frac{3}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|4\cdot3+3\cdot1-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$.
30. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.