גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(5,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+10}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(5,2)$.
2. $m=\frac{2}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $\frac{2}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $\frac{2}{3}$.
3. $y=3x$ — שיפוע $m=\frac{3-(0)}{1-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=0-(3)\cdot0=0$. לכן $y=3x$.
4. $\frac{3\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $135^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$.
5. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(0)}{2-(-1)} = \frac{9}{3} = 3$.
6. $y=2x+5$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{0-(-2)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot-2=5$. לכן $y=2x+5$.
7. $y=-2x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=-2(x-(0))$, כלומר $y=-2x+4$.
8. $9$ — $\tan 45^\circ = \frac{9}{b}$, ומכיוון ש-$\tan 45^\circ=1$ הצל הוא $9$ מטר.
9. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|5\cdot0+12\cdot0-13|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{13}{13}=1$.
10. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
11. $20$ — גובה $= 20\tan 45^\circ = 20\cdot 1 = 20$ מטר.
12. $(-1,2),\ r=3$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-1,2)$ והרדיוס $r=\sqrt{9}=3$.
13. $(-2,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=-2$, ולכן נקודת החיתוך $(-2,0)$.
14. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
15. $5$ — $AB=\sqrt{(5)^2+(0)^2}=\sqrt{25}=5$.
16. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
17. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
18. $(4,6)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(4,6)$.
19. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
20. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
21. $(4,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=4$, ולכן נקודת החיתוך $(4,0)$.
22. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-(1)}{6-(3)} = \frac{6}{3} = 2$.
23. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot0=1$. לכן $y=2x+1$.
24. $y=-x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(5)=-1(x-(1))$, כלומר $y=-1x+6$.
25. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
26. $(1,-2),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
27. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $150^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
28. $(-1,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(-1,4)$.
29. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
30. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.