גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
2. $(1,-2),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
3. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $150^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
4. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
5. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
6. $5$ — לפי פיתגורס $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
7. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $90^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$.
8. $6\sqrt{2}$ — האלכסון $= 6\cdot\sqrt2$ (כי הזווית $45^\circ$ והיתר $= \frac{6}{\cos 45^\circ}=6\sqrt2$).
9. $y=\frac{1}{2}x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=\frac{1}{2}$. נציב את הנקודה: $b=3-(\frac{1}{2})\cdot4=1$, ולכן $y=\frac{1}{2}x+1$.
10. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{10-(0)}{5-(0)} = \frac{10}{5} = 2$.
11. $\frac{1}{2}$ — $\sin 30^\circ = \frac{5}{10} = \frac12$.
12. $25$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(7)^2+(24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
13. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
14. $6$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(6)^2}=\sqrt{36}=6$.
15. $\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
16. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$.
17. $\frac{3\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $135^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$.
18. $(-5,3),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-5,3)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
19. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(2,3)$.
20. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.
21. $(1,1),\ r=8$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,1)$ והרדיוס $r=\sqrt{64}=8$.
22. $y=-x+3$ — שיפוע $m=\frac{0-(3)}{3-(0)}=-1$. נציב נקודה: $b=3-(-1)\cdot0=3$. לכן $y=-x+3$.
23. $8$ — $\cos 60^\circ = \frac{4}{c}=\frac12$, ולכן היתר $= \frac{4}{1/2}=8$.
24. $(5,0),\ r=3$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(5,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{9}=3$.
25. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(5)=3(x-(0))$, כלומר $y=3x+5$.
26. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
27. $13$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{169}=13$.
28. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
29. $y=3x-2$ — שיפוע $m=\frac{4-(1)}{2-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot1=-2$. לכן $y=3x-2$.
30. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.