גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $5$ — $AB=\sqrt{(5)^2+(0)^2}=\sqrt{25}=5$.
2. $m=3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $3$.
3. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
4. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
5. $\frac{\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $45^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$.
6. $(-1,2),\ r=3$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-1,2)$ והרדיוס $r=\sqrt{9}=3$.
7. $(3,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$.
8. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
9. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
10. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
11. $(1,3)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
12. $y=3x+2$ — שיפוע $m=\frac{8-(2)}{2-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=2-(3)\cdot0=2$. לכן $y=3x+2$.
13. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
14. $4$ — ניצב מול $= 8\sin 30^\circ = 8\cdot\frac12 = 4$.
15. $(0,-3),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,-3)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
16. $(0,5)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=5$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,5)$.
17. $\pi$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $180^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \pi$.
18. $y=2x$ — שיפוע $m=\frac{6-(2)}{3-(1)}=2$. נציב נקודה: $b=2-(2)\cdot1=0$. לכן $y=2x$.
19. $(-4,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=-4$, ולכן נקודת החיתוך $(-4,0)$.
20. $m=\frac{2}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $\frac{2}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $\frac{2}{3}$.
21. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
22. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $120^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$.
23. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
24. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(1)} = \frac{6}{3} = 2$.
25. $20$ — גובה $= 20\tan 45^\circ = 20\cdot 1 = 20$ מטר.
26. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
27. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-\frac{1}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-\frac{1}{3}$.
28. $(5,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=5$, ולכן נקודת החיתוך $(5,0)$.
29. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-(0)}{2-(0)} = \frac{6}{2} = 3$.
30. $(0,4),\ r=7$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{49}=7$.