גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(5,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=5$, ולכן נקודת החיתוך $(5,0)$.
2. $(1,3)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
3. $30^\circ$ — $\sin\theta = \frac{6}{12} = \frac12$, ולכן $\theta = 30^\circ$.
4. $y=\frac{1}{2}x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=\frac{1}{2}$. נציב את הנקודה: $b=3-(\frac{1}{2})\cdot4=1$, ולכן $y=\frac{1}{2}x+1$.
5. $m=2$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $2$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $2$.
6. $y=x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=1(x-(3))$, כלומר $y=1x-3$.
7. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
8. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{10-(0)}{5-(0)} = \frac{10}{5} = 2$.
9. $y=2x$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=2(x-(0))$, כלומר $y=2x$.
10. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
11. $(-1,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-3+1}{2},\frac{2+6}{2}\right)=(-1,4)$.
12. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(4,4)$.
13. $m=-1$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-1$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-1$.
14. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
15. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{2}$.
16. $m=-4$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{4}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-4$.
17. $25$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(7)^2+(24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
18. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{9-(5)}{4-(2)}=2$. נציב נקודה: $b=5-(2)\cdot2=1$. לכן $y=2x+1$.
19. $360^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $2\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 360^\circ$.
20. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
21. $7$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(7)^2}=\sqrt{49}=7$.
22. $(5,6)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{2+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(5,6)$.
23. $y=4x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=4(x-(1))$, כלומר $y=4x-3$.
24. $(0,8)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=8$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,8)$.
25. $\sqrt{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1\cdot0+2\cdot0-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$.
26. $2$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
27. $(4,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=4$, ולכן נקודת החיתוך $(4,0)$.
28. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
29. $(4,6)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{0+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(4,6)$.
30. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.