גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $270^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 270^\circ$.
2. $y=x$ — שיפוע $m=\frac{2-(0)}{2-(0)}=1$. נציב נקודה: $b=0-(1)\cdot0=0$. לכן $y=x$.
3. $(5,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+10}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(5,2)$.
4. $\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
5. $5$ — לפי פיתגורס $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
6. $m=2$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $2$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $2$.
7. $4$ — ניצב מול $= 8\sin 30^\circ = 8\cdot\frac12 = 4$.
8. $y=-3x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=-3(x-(2))$, כלומר $y=-3x+6$.
9. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
10. $9$ — $\tan 45^\circ = \frac{9}{b}$, ומכיוון ש-$\tan 45^\circ=1$ הצל הוא $9$ מטר.
11. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
12. $m=2$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-\frac{1}{2}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=2$.
13. $20$ — גובה $= 20\tan 45^\circ = 20\cdot 1 = 20$ מטר.
14. $6\sqrt{2}$ — האלכסון $= 6\cdot\sqrt2$ (כי הזווית $45^\circ$ והיתר $= \frac{6}{\cos 45^\circ}=6\sqrt2$).
15. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(2,3)$.
16. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
17. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
18. $m=4$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $4$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $4$.
19. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
20. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
21. $(4,-2),\ r=2$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(4,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{4}=2$.
22. $y=5x-1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-1)=5(x-(0))$, כלומר $y=5x-1$.
23. $\frac{3}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|4\cdot3+3\cdot1-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$.
24. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$.
25. $(0,0),\ r=9$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{81}=9$.
26. $(-2,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=-2$, ולכן נקודת החיתוך $(-2,0)$.
27. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-(-1)}{1-(-1)} = \frac{4}{2} = 2$.
28. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
29. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
30. $x^2+(y-4)^2=36$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=0,\ b=4,\ r=6$: $x^2+(y-4)^2=36$.