גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
2. $m=-2$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{2}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-2$.
3. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
4. לא — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. לא מתקבל שוויון — הנקודה אינה על הישר.
5. $2\sqrt{2}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.
6. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
7. $(5,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+10}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(5,2)$.
8. $5\sqrt{3}$ — הגובה $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$ מטר.
9. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
10. $45^\circ$ — $\tan\theta = \frac{5}{5} = 1$, ולכן $\theta = 45^\circ$.
11. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
12. $8$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(8)^2}=\sqrt{64}=8$.
13. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-\frac{1}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-\frac{1}{3}$.
14. $12$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot24=12$.
15. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot0=1$. לכן $y=2x+1$.
16. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(5)=3(x-(0))$, כלומר $y=3x+5$.
17. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
18. $y=-x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=-1(x-(4))$, כלומר $y=-1x+5$.
19. $30$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot60=30$.
20. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
21. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
22. $\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
23. $(4,6)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(4,6)$.
24. $\frac{16}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot1+4\cdot2+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{16}{5}=\frac{16}{5}$.
25. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$.
26. $6$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(6)^2}=\sqrt{36}=6$.
27. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-(1)}{6-(3)} = \frac{6}{3} = 2$.
28. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
29. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-(-3)}{2-(0)} = \frac{4}{2} = 2$.
30. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.