גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$.
2. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(3)}{5-(2)} = \frac{6}{3} = 2$.
3. $90^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 90^\circ$.
4. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
5. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{10-(0)}{5-(0)} = \frac{10}{5} = 2$.
6. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-(-1)}{1-(-1)} = \frac{4}{2} = 2$.
7. $y=3x+2$ — שיפוע $m=\frac{8-(2)}{2-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=2-(3)\cdot0=2$. לכן $y=3x+2$.
8. $4$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(4)^2}=\sqrt{16}=4$.
9. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(1)} = \frac{6}{3} = 2$.
10. $y=2x-1$ — שיפוע $m=\frac{3-(-1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=-1-(2)\cdot0=-1$. לכן $y=2x-1$.
11. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
12. $(-2,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=-2$, ולכן נקודת החיתוך $(-2,0)$.
13. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
14. $y=3x+1$ — שיפוע $m=\frac{10-(4)}{3-(1)}=3$. נציב נקודה: $b=4-(3)\cdot1=1$. לכן $y=3x+1$.
15. $m=\frac{1}{3}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-3$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{3}$.
16. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-\frac{1}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-\frac{1}{3}$.
17. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
18. $y=2x-5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-1)=2(x-(2))$, כלומר $y=2x-5$.
19. $(0,4),\ r=7$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{49}=7$.
20. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
21. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
22. $5$ — $AB=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
23. $5$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot3+4\cdot4+0|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{25}{5}=5$.
24. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
25. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
26. $(2,3),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,3)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
27. $\frac{4}{5}$ — היחס $\frac{4}{3}$ מתאים למשולש $3,4,5$, ולכן $\sin\theta=\frac{4}{5}$.
28. $y=3x$ — שיפוע $m=\frac{3-(0)}{1-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=0-(3)\cdot0=0$. לכן $y=3x$.
29. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(2)} = \frac{6}{2} = 3$.
30. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.