גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $m=-2$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{2}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-2$.
2. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $60^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$.
3. $y=2x-4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-2)=2(x-(1))$, כלומר $y=2x-4$.
4. $\frac{4}{5}$ — היחס $\frac{4}{3}$ מתאים למשולש $3,4,5$, ולכן $\sin\theta=\frac{4}{5}$.
5. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
6. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
7. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
8. $m=-\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{2}$.
9. $(x-4)^2+y^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=4,\ b=0,\ r=3$: $(x-4)^2+y^2=9$.
10. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{12-(3)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
11. $30\sqrt{3}$ — גובה $= 30\tan 60^\circ = 30\sqrt3$ מטר.
12. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $120^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$.
13. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $225^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4}$.
14. $5\sqrt{3}$ — ניצב מול $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$.
15. $15$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(9)^2+(12)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
16. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(1)}{4-(0)} = \frac{8}{4} = 2$.
17. $0$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot2+4\cdot1-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{0}{5}=0$.
18. $(1,1),\ r=8$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,1)$ והרדיוס $r=\sqrt{64}=8$.
19. $360^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $2\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 360^\circ$.
20. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$.
21. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
22. $10$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{100}=10$.
23. $45^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 45^\circ$.
24. $m=-1$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-1$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-1$.
25. $45^\circ$ — $\tan\theta = \frac{5}{5} = 1$, ולכן $\theta = 45^\circ$.
26. $(2,2),\ r=1$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,2)$ והרדיוס $r=\sqrt{1}=1$.
27. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
28. $m=\frac{1}{3}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-3$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{3}$.
29. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
30. $(1,-2),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(1,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.