גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
2. $13$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{169}=13$.
3. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
4. $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=2,\ b=2,\ r=1$: $(x-2)^2+(y-2)^2=1$.
5. $5\sqrt{3}$ — הגובה $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$ מטר.
6. $m=4$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $4$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $4$.
7. $(0,0),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
8. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
9. $7$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(7)^2}=\sqrt{49}=7$.
10. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $225^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4}$.
11. $25$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(7)^2+(24)^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
12. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
13. $150^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 150^\circ$.
14. $m=2$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $2$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $2$.
15. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
16. $(-2,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=-2$, ולכן נקודת החיתוך $(-2,0)$.
17. $(x+1)^2+(y+3)^2=25$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-1,\ b=-3,\ r=5$: $(x+1)^2+(y+3)^2=25$.
18. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|5\cdot0+12\cdot0-13|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{13}{13}=1$.
19. $180^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 180^\circ$.
20. $y=2x-4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-2)=2(x-(1))$, כלומר $y=2x-4$.
21. $(4,-2),\ r=2$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(4,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{4}=2$.
22. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
23. $2$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
24. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(2)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+5$.
25. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
26. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot0=1$. לכן $y=2x+1$.
27. $(0,5)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=5$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,5)$.
28. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
29. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
30. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.