גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(-2,4),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-2,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
2. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
3. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $\frac{1}{2}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $\frac{1}{2}$.
4. $2\sqrt{2}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.
5. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
6. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
7. $(5,0),\ r=3$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(5,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{9}=3$.
8. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
9. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
10. $m=-\frac{1}{5}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=5$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{5}$.
11. $5\sqrt{3}$ — ניצב מול $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$.
12. $\frac{7\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $210^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}$.
13. לא — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. לא מתקבל שוויון — הנקודה אינה על הישר.
14. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
15. $5\sqrt{3}$ — הגובה $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$ מטר.
16. $(2,-3),\ r=7$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,-3)$ והרדיוס $r=\sqrt{49}=7$.
17. $(4,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=4$, ולכן נקודת החיתוך $(4,0)$.
18. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
19. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{14-(5)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
20. $(0,-9)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=-9$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,-9)$.
21. $y=2x$ — שיפוע $m=\frac{6-(2)}{3-(1)}=2$. נציב נקודה: $b=2-(2)\cdot1=0$. לכן $y=2x$.
22. $5$ — $AB=\sqrt{(5)^2+(0)^2}=\sqrt{25}=5$.
23. $(-3,-1),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-3,-1)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
24. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-(-1)}{4-(2)} = \frac{6}{2} = 3$.
25. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
26. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
27. $y=2x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=2$. נציב את הנקודה: $b=3-(2)\cdot1=1$, ולכן $y=2x+1$.
28. $\frac{\pi}{12}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $15^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}$.
29. $\frac{16}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot1+4\cdot2+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{16}{5}=\frac{16}{5}$.
30. $m=-2$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{2}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-2$.