גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $12$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot24=12$.
2. $(-2,4),\ r=6$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-2,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{36}=6$.
3. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
4. $4$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(4)^2}=\sqrt{16}=4$.
5. $5\sqrt{3}$ — הגובה $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$ מטר.
6. $m=-\frac{1}{5}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=5$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{5}$.
7. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{2}$.
8. $10$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
9. $5$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(3)^2}=\sqrt{25}=5$.
10. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
11. $\frac{25}{2}$ — שטח מעוין $= a^2\sin\theta = 25\sin 30^\circ = 25\cdot\frac12=\frac{25}{2}$.
12. $90^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 90^\circ$.
13. $(5,6)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{2+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(5,6)$.
14. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
15. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
16. $10$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{100}=10$.
17. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(1)} = \frac{6}{3} = 2$.
18. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
19. $(4,6)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(4,6)$.
20. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
21. $(-5,3),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-5,3)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
22. $(0,-3),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,-3)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
23. $(x-4)^2+y^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=4,\ b=0,\ r=3$: $(x-4)^2+y^2=9$.
24. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-(1)}{3-(1)} = \frac{4}{2} = 2$.
25. $y=2x+2$ — שיפוע $m=\frac{4-(0)}{1-(-1)}=2$. נציב נקודה: $b=0-(2)\cdot-1=2$. לכן $y=2x+2$.
26. $y=2x-1$ — שיפוע $m=\frac{3-(-1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=-1-(2)\cdot0=-1$. לכן $y=2x-1$.
27. $\frac{1}{2}$ — $\sin 30^\circ = \frac{5}{10} = \frac12$.
28. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
29. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.
30. $m=3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $3$.