גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $\frac{50}{\sqrt{3}}$ — גובה $= 50\tan 30^\circ = 50\cdot\frac{1}{\sqrt3} = \frac{50}{\sqrt3}$ מטר.
2. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(1)}{2-(-2)} = \frac{8}{4} = 2$.
3. $(3,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$.
4. $(2,3)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
5. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
6. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
7. $(0,0)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.
8. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
9. $30^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 30^\circ$.
10. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
11. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{1-(-3)}{2-(0)} = \frac{4}{2} = 2$.
12. $30$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot60=30$.
13. $10$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(8)^2+(6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.
14. $45^\circ$ — $\tan\theta = \frac{5}{5} = 1$, ולכן $\theta = 45^\circ$.
15. $2$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
16. $m=-\frac{1}{4}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=4$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{4}$.
17. $y=4x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(1)=4(x-(1))$, כלומר $y=4x-3$.
18. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
19. $(3,0),\ r=2$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(3,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{4}=2$.
20. $70^\circ$ — סכום הזוויות $180^\circ$, ושתי זוויות הבסיס שוות: $\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$.
21. $90^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 90^\circ$.
22. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$.
23. $2\pi$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $360^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = 2\pi$.
24. $30^\circ$ — $\sin\theta = \frac{6}{12} = \frac12$, ולכן $\theta = 30^\circ$.
25. $y=2x$ — שיפוע $m=\frac{6-(2)}{3-(1)}=2$. נציב נקודה: $b=2-(2)\cdot1=0$. לכן $y=2x$.
26. $(4,6)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(4,6)$.
27. $10$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(6)^2+(8)^2}=\sqrt{100}=10$.
28. $\frac{1}{2}$ — $\sin 30^\circ = \frac{5}{10} = \frac12$.
29. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(1)} = \frac{6}{3} = 2$.
30. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.