גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{13-(1)}{5-(1)} = \frac{12}{4} = 3$.
2. $(3,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+5}{2},\frac{3+7}{2}\right)=(3,5)$.
3. $6$ — $\tan 30^\circ = \frac{a}{6\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}$, ולכן המול $= \frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6$.
4. $4$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(0)^2}=\sqrt{16}=4$.
5. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
6. $\frac{4}{5}$ — לפי פיתגורס/זהות, $\sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45$.
7. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
8. $m=-4$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{4}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-4$.
9. $150^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 150^\circ$.
10. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
11. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
12. $m=-\frac{1}{5}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=5$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{5}$.
13. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+3}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(2,3)$.
14. $\frac{3}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|4\cdot3+3\cdot1-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$.
15. $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=2,\ b=2,\ r=1$: $(x-2)^2+(y-2)^2=1$.
16. $m=-2$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=\frac{1}{2}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-2$.
17. $y=2x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=2$. נציב את הנקודה: $b=3-(2)\cdot1=1$, ולכן $y=2x+1$.
18. $y=-x+1$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(3)=-1(x-(-2))$, כלומר $y=-1x+1$.
19. $(x+2)^2+(y-1)^2=16$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=-2,\ b=1,\ r=4$: $(x+2)^2+(y-1)^2=16$.
20. $270^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 270^\circ$.
21. $y=2x+2$ — שיפוע $m=\frac{4-(0)}{1-(-1)}=2$. נציב נקודה: $b=0-(2)\cdot-1=2$. לכן $y=2x+2$.
22. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{10-(0)}{5-(0)} = \frac{10}{5} = 2$.
23. $m=\frac{1}{2}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $\frac{1}{2}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $\frac{1}{2}$.
24. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|5\cdot0+12\cdot0-13|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{13}{13}=1$.
25. $(5,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=5$, ולכן נקודת החיתוך $(5,0)$.
26. $(4,-2),\ r=2$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(4,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{4}=2$.
27. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-(2)}{4-(1)} = \frac{6}{3} = 2$.
28. $y=x-3$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=1(x-(3))$, כלומר $y=1x-3$.
29. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
30. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.