גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(-1,2),\ r=3$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-1,2)$ והרדיוס $r=\sqrt{9}=3$.
2. $y=x$ — שיפוע $m=\frac{2-(0)}{2-(0)}=1$. נציב נקודה: $b=0-(1)\cdot0=0$. לכן $y=x$.
3. $(0,6)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=6$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,6)$.
4. $(0,0),\ r=4$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,0)$ והרדיוס $r=\sqrt{16}=4$.
5. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+7}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(4,4)$.
6. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
7. $6$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot12=6$.
8. $\frac{\pi}{12}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $15^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}$.
9. $5\sqrt{3}$ — ניצב מול $= 10\sin 60^\circ = 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3$.
10. $45^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{4}\cdot\frac{180}{\pi} = 45^\circ$.
11. $30^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 30^\circ$.
12. $6\sqrt{2}$ — האלכסון $= 6\cdot\sqrt2$ (כי הזווית $45^\circ$ והיתר $= \frac{6}{\cos 45^\circ}=6\sqrt2$).
13. $3\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.
14. $(0,4)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=4$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,4)$.
15. $90^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 90^\circ$.
16. $y=3x+5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(2)=3(x-(-1))$, כלומר $y=3x+5$.
17. $8$ — $\cos 60^\circ = \frac{4}{c}=\frac12$, ולכן היתר $= \frac{4}{1/2}=8$.
18. $2\pi$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $360^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = 2\pi$.
19. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
20. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.
21. $y=2x-1$ — שיפוע $m=\frac{3-(-1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=-1-(2)\cdot0=-1$. לכן $y=2x-1$.
22. $4$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(0)^2}=\sqrt{16}=4$.
23. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{13-(1)}{5-(1)} = \frac{12}{4} = 3$.
24. $y=-2x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=-2(x-(0))$, כלומר $y=-2x+4$.
25. $m=-\frac{1}{4}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=4$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{4}$.
26. לא — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. לא מתקבל שוויון — הנקודה אינה על הישר.
27. $m=-\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{2}$.
28. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $150^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
29. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
30. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|5\cdot0+12\cdot0-13|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{13}{13}=1$.