גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $7$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(7)^2}=\sqrt{49}=7$.
2. $210^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 210^\circ$.
3. $(x-3)^2+(y+1)^2=4$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=3,\ b=-1,\ r=2$: $(x-3)^2+(y+1)^2=4$.
4. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
5. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(0)}{5-(2)} = \frac{9}{3} = 3$.
6. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{13-(1)}{5-(1)} = \frac{12}{4} = 3$.
7. $2\sqrt{2}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.
8. $6$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(6)^2}=\sqrt{36}=6$.
9. $5$ — לפי פיתגורס $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
10. $(0,5)$ — החיתוך עם ציר $y$ מתקבל כאשר $x=0$. נציב: $y=5$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,5)$.
11. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
12. $(0,4),\ r=7$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(0,4)$ והרדיוס $r=\sqrt{49}=7$.
13. $5$ — $AB=\sqrt{(4)^2+(3)^2}=\sqrt{25}=5$.
14. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
15. $(x-4)^2+y^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=4,\ b=0,\ r=3$: $(x-4)^2+y^2=9$.
16. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
17. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{9-(5)}{4-(2)}=2$. נציב נקודה: $b=5-(2)\cdot2=1$. לכן $y=2x+1$.
18. לא — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון אינו מתקיים, ולכן הנקודה אינה על המעגל.
19. $(-5,3),\ r=5$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(-5,3)$ והרדיוס $r=\sqrt{25}=5$.
20. $(4,-2),\ r=2$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(4,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{4}=2$.
21. $(5,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{3+7}{2},\frac{1+9}{2}\right)=(5,5)$.
22. $\frac{16}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot1+4\cdot2+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{16}{5}=\frac{16}{5}$.
23. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{14-(5)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
24. $90^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{180}{\pi} = 90^\circ$.
25. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
26. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
27. $y=-3x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(0)=-3(x-(2))$, כלומר $y=-3x+6$.
28. $\frac{3}{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|4\cdot3+3\cdot1-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$.
29. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$.
30. $m=5$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $5$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $5$.