גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{12-(3)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
2. $0$ — הישר אופקי, ולכן שיפועו $0$.
3. $2\sqrt{2}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1\cdot0+1\cdot0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.
4. $5$ — $AB=\sqrt{(5)^2+(0)^2}=\sqrt{25}=5$.
5. $(2,2),\ r=1$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(2,2)$ והרדיוס $r=\sqrt{1}=1$.
6. $y=-x+3$ — שיפוע $m=\frac{0-(3)}{3-(0)}=-1$. נציב נקודה: $b=3-(-1)\cdot0=3$. לכן $y=-x+3$.
7. $4$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(4)^2}=\sqrt{16}=4$.
8. $\pi$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $180^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \pi$.
9. $m=\frac{2}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $\frac{2}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $\frac{2}{3}$.
10. $y=3x$ — שיפוע $m=\frac{3-(0)}{1-(0)}=3$. נציב נקודה: $b=0-(3)\cdot0=0$. לכן $y=3x$.
11. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
12. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-(1)}{3-(1)} = \frac{4}{2} = 2$.
13. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
14. $y=-2x+4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(4)=-2(x-(0))$, כלומר $y=-2x+4$.
15. $(x-4)^2+y^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=4,\ b=0,\ r=3$: $(x-4)^2+y^2=9$.
16. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-(-2)}{4-(1)} = \frac{9}{3} = 3$.
17. $(1,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.
18. $210^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 210^\circ$.
19. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
20. $y=2x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=2$. נציב את הנקודה: $b=3-(2)\cdot1=1$, ולכן $y=2x+1$.
21. $2\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(2)^2+(2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
22. $m=-\frac{1}{3}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=3$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{3}$.
23. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
24. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(1)}{2-(-2)} = \frac{8}{4} = 2$.
25. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $90^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$.
26. $y=2x-4$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-2)=2(x-(1))$, כלומר $y=2x-4$.
27. $(4,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=4$, ולכן נקודת החיתוך $(4,0)$.
28. $(2,3)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(2,3)$.
29. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{11-(2)}{3-(0)} = \frac{9}{3} = 3$.
30. $\sqrt{5}$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|1\cdot0+2\cdot0-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$.