גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $7$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(7)^2}=\sqrt{49}=7$.
2. $5$ — $AB=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
3. $(2,3)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{0+4}{2},\frac{5+1}{2}\right)=(2,3)$.
4. $(5,6)$ — מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר: $\left(\frac{2+8}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(5,6)$.
5. $13$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(5)^2+(12)^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
6. $(5,5)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{3+7}{2},\frac{1+9}{2}\right)=(5,5)$.
7. $m=2$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-\frac{1}{2}$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=2$.
8. $2$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
9. $\text{לא מוגדר}$ — הישר אנכי (מקביל לציר $y$). השיפוע של ישר אנכי אינו מוגדר כי $\Delta x=0$.
10. $180^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 180^\circ$.
11. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
12. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
13. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
14. $(2,2)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=(2,2)$.
15. $\frac{4}{5}$ — היחס $\frac{4}{3}$ מתאים למשולש $3,4,5$, ולכן $\sin\theta=\frac{4}{5}$.
16. $y=2x+1$ — שיפוע $m=\frac{5-(1)}{2-(0)}=2$. נציב נקודה: $b=1-(2)\cdot0=1$. לכן $y=2x+1$.
17. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $225^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4}$.
18. $m=-3$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $-3$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $-3$.
19. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $150^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
20. כן — נציב את שיעורי הנקודה במשוואת המעגל ונבדוק אם מתקבל שוויון. השוויון מתקיים, ולכן הנקודה על המעגל.
21. $m=-\frac{1}{4}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=4$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{4}$.
22. $y=3x+1$ — ישר מקביל בעל שיפוע זהה $m=3$. נציב את הנקודה: $b=1-(3)\cdot0=1$, ולכן $y=3x+1$.
23. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
24. $30^\circ$ — $\sin\theta = \frac{6}{12} = \frac12$, ולכן $\theta = 30^\circ$.
25. $5$ — הרדיוס שווה למרחק בין המרכז לנקודה על המעגל: $r=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{25}=5$.
26. $\frac{1}{2}$ — $\sin 30^\circ = \frac{5}{10} = \frac12$.
27. $12$ — שטח משולש $=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|=\frac{1}{2}\cdot24=12$.
28. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(3)}{5-(2)} = \frac{6}{3} = 2$.
29. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
30. $y=3x-5$ — שיפוע $m=\frac{7-(1)}{4-(2)}=3$. נציב נקודה: $b=1-(3)\cdot2=-5$. לכן $y=3x-5$.