גאומטריה אנליטית — תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $7$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(7)^2}=\sqrt{49}=7$.
2. $m=\frac{1}{3}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-3$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{1}{3}$.
3. $2\pi$ — ממירים מעלות לרדיאנים בכפל ב-$\frac{\pi}{180}$: $360^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = 2\pi$.
4. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-(1)}{6-(3)} = \frac{6}{3} = 2$.
5. $x^2+(y-4)^2=36$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=0,\ b=4,\ r=6$: $x^2+(y-4)^2=36$.
6. $(4,4)$ — אמצע קטע $=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{2+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=(4,4)$.
7. $2\sqrt{3}$ — הגובה $= 4\sin 60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$.
8. $2$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(1)}{2-(-2)} = \frac{8}{4} = 2$.
9. $210^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{7\pi}{6}\cdot\frac{180}{\pi} = 210^\circ$.
10. $45^\circ$ — $\tan\theta = \frac{5}{5} = 1$, ולכן $\theta = 45^\circ$.
11. $m=-\frac{1}{5}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=5$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{5}$.
12. $5$ — $AB=\sqrt{(0)^2+(5)^2}=\sqrt{25}=5$.
13. $180^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\pi\cdot\frac{180}{\pi} = 180^\circ$.
14. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
15. $(x-1)^2+(y-2)^2=9$ — משוואת מעגל: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. נציב $a=1,\ b=2,\ r=3$: $(x-1)^2+(y-2)^2=9$.
16. $2000$ — $\sin 30^\circ = \frac{1000}{d}$, ולכן $d = \frac{1000}{1/2} = 2000$ מטר.
17. כן — נציב את שיעור ה-$x$ של הנקודה במשוואת הישר ונבדוק אם מתקבל שיעור ה-$y$. מתקבל שוויון — הנקודה על הישר.
18. $y=-2x+8$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(2)=-2(x-(3))$, כלומר $y=-2x+8$.
19. $5$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
20. $y=-x+6$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(5)=-1(x-(1))$, כלומר $y=-1x+6$.
21. $m=1$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=-1$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=1$.
22. $(3,0)$ — החיתוך עם ציר $x$ מתקבל כאשר $y=0$. נפתור $0=...$ ונקבל $x=3$, ולכן נקודת החיתוך $(3,0)$.
23. $m=-\frac{1}{2}$ — ישרים ניצבים: $m_1\cdot m_2=-1$. שיפוע הישר הנתון $m_1=2$, ולכן $m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{2}$.
24. $m=\frac{2}{3}$ — ישרים מקבילים בעלי שיפועים שווים: $m_1=m_2$. שיפוע הישר הנתון הוא $\frac{2}{3}$, ולכן גם שיפוע הישר המקביל הוא $\frac{2}{3}$.
25. $1$ — נוסחת מרחק נקודה מישר: $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|3\cdot0-4\cdot0+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$.
26. $60^\circ$ — ממירים רדיאנים למעלות בכפל ב-$\frac{180}{\pi}$: $\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180}{\pi} = 60^\circ$.
27. $3$ — שיפוע $= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-(0)}{5-(2)} = \frac{9}{3} = 3$.
28. $\sqrt{2}$ — $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
29. $y=2x-5$ — נשתמש ב-$y-y_0=m(x-x_0)$: $y-(-1)=2(x-(2))$, כלומר $y=2x-5$.
30. $(4,-2),\ r=2$ — במשוואת מעגל $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ המרכז הוא $(a,b)=(4,-2)$ והרדיוס $r=\sqrt{4}=2$.