⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י׳ · יסודות בגרות · 30 שאלות · ~75 דק'
📈
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל
30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.
מה כלול בדף העבודה הזה?
דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.
איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית
- הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
- פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
- בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
- חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
- כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.
למה הדף הזה עוזר?
דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.
דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק
- 📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
- 🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'
- 1.f(x) = 2x + 1. מהו f(f(2))?y = 2x + 1
- 2.מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = √x?
- 3.f(x) = √x. מה ההגדרה של g(x) = −f(−x)?
- 4.f(x) = x³ ו-g(x) = −f(x). מהו g(−2)?y = x
- 5.אבן נופלת ממגדל בגובה 80 מטר: h(t) = 80 − 5t². מתי מגיעה לקרקע?
- 6.f(x) = x³. הגרף הוזז 8 יחידות מעלה. מהו ערך g(2)?y = x
- 7.f(x) = √x. כתוב את g(x) שמוזזת 1 ימינה ו-2 מעלה.
- 8.f(x) = x². כתוב g שהיא הזזה ימינה ב-2 ומעלה ב-5.y = x²
- 9.כדור נזרק לגובה h(t) = −5t² + 30t. מתי הוא חוזר לקרקע?
- 10.פרבולה עם קודקוד (1, 0) שעוברת דרך (0, 2). מהי g(x)?
- 11.f(x) = |x|. הגרף הוזז 3 יחידות שמאלה. מהו ערך g(−3)?
- 12.גרף של f(x) = x² עם קודקוד (0, 0) עבר לקודקוד (3, −2). אילו טרנספורמציות?y = x²
- 13.f(x) = x². כתוב את −2f(x + 1) + 3.y = x²
- 14.g(x) = −|−x|. תאר את הגרף.
- 15.נתון f(x) = x² ו-g(x) = (x − 1)² + 4. תאר את הקשר ביניהן.y = x²
- 16.מהו טווח הערכים של g(x) = 3 − √(x + 1)?
- 17.אם f(x) = x + 4, מהי f⁻¹(x)?y = x + 4
- 18.f(x) = x². כתוב את g(x) המתקבלת מכיווץ אופקי פי 2.y = x²
- 19.מצא m כך שהישר y = mx − 4 משיק לפרבולה y = x².y = x²
- 20.מהו תחום ההגדרה של y = √x?
- 21.מהו טווח הערכים של g(x) = −(x − 1)² + 4?
- 22.נתונה g(x) = √(2x − 8). זהה את ההזזה לאחר חילוץ הצורה √(2(x − 4)). מהי ההזזה האופקית מ-f(x) = √(2x)?
- 23.פתור גרפית: |x| = 3.
- 24.f(x) = 2x ו-g(x) = x + 1. מהי (g∘f)(x)?y = 2x
- 25.האסימפטוטה של f(x) = 1/x היא x = 0. מהי האסימפטוטה האנכית של g(x) = 1/(x + 4)?
- 26.פתור x + x² = 12. מהו הפתרון הקטן יותר?
- 27.אם f(3) = 7, מהו f⁻¹(7)?
- 28.נתונות f(x) = 2x ו-g(x) = x + 3. מהו f(g(1))?y = 2x
- 29.גובה זריקת אבן: h(t) = −5t² + 25t + 30 (במטר). באיזה זמן h מקסימלי?
- 30.באיזה תחום הישר y = x + 2 מעל הפרבולה y = x²?y = x + 2y = x²
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
פתרונות
- 11 — f(2) = 5. f(f(2)) = f(5) = 2(5)+1 = 11.
- x ≥ 0 — שורש ריבועי מוגדר רק עבור מספרים אי-שליליים. תחום ההגדרה: x ≥ 0
- g(x) = −√(−x), x ≤ 0 — f(−x) = √(−x), דורש −x ≥ 0 כלומר x ≤ 0. ואז שיקוף ל-x: −√(−x).
- 8 — f(−2) = (−2)³ = −8. g(−2) = −f(−2) = −(−8) = 8.
- t = 4 שניות — 80 − 5t² = 0 ⇒ t² = 16 ⇒ t = 4.
- 16 — g(x) = x³ + 8. הצבה: g(2) = 2³ + 8 = 8 + 8 = 16.
- g(x) = √(x − 1) + 2 — ימינה ב-1: x → x − 1. מעלה ב-2: +2. מתקבל √(x − 1) + 2 עם תחום x ≥ 1.
- g(x) = (x − 2)² + 5 — הזזה ימינה: f(x − 2). הזזה מעלה: + 5. יחד: g(x) = (x − 2)² + 5.
- t = 6 שניות — h(t) = 0 ⇒ t(−5t + 30) = 0 ⇒ t = 0 או t = 6. חזרה לקרקע ב-t = 6.
- g(x) = 2(x − 1)² — קודקוד (1, 0): g(x) = a(x − 1)². הצבה (0, 2): 2 = a·1 → a = 2.
- 0 — g(x) = |x + 3|. הצבה: g(−3) = |−3 + 3| = |0| = 0.
- 3 ימינה ו-2 מטה — (0, 0) → (3, −2): x עלה ב-3 (ימינה), y ירד ב-2 (מטה).
- −2(x + 1)² + 3 — החלף x ב-(x + 1) ב-f, הכפל ב-−2, הוסף 3: −2(x + 1)² + 3.
- זהה ל-−|x| — |−x| = |x|, ולכן −|−x| = −|x|. פונקציה זוגית לא משתנה משיקוף ל-y.
- הזזה ימינה 1 ומעלה 4 — (x − 1) ⇒ הזזה ימינה ב-1. + 4 ⇒ הזזה מעלה ב-4.
- y ≤ 3 — √(x + 1) ≥ 0 ⇒ −√(x + 1) ≤ 0 ⇒ 3 − √(x + 1) ≤ 3.
- f⁻¹(x) = x - 4 — y = x+4 → x = y-4. פונקציה הופכית: f⁻¹(x) = x-4.
- g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2 מתבטא ב-f(2x) = (2x)². המקדם בתוך הקלט.
- m = 4 או m = −4 — x² = mx − 4 ⇒ x² − mx + 4 = 0. משיק ⇒ Δ = 0 ⇒ m² − 16 = 0 ⇒ m = ±4.
- x ≥ 0 — שורש של מספר שלילי לא מוגדר במספרים ממשיים. תחום: x ≥ 0.
- y ≤ 4 — מקסימום בקודקוד (1, 4). a = −1 < 0 ⇒ y ≤ 4.
- 4 ימינה — √(2x − 8) = √(2(x − 4)) = f(x − 4). זו הזזה של f(x) = √(2x) ב-4 יחידות ימינה.
- x = 3, x = −3 — y = |x| חותך את y = 3 בשתי נקודות x = ±3.
- 2x + 1 — g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.
- x = −4 — g לא מוגדרת כאשר המכנה מתאפס: x + 4 = 0 ⇒ x = −4. זו האסימפטוטה האנכית.
- −4 — x² + x − 12 = 0 ⇒ (x + 4)(x − 3) = 0. שני פתרונות: x = −4 ו-x = 3. הקטן יותר: −4.
- 3 — f⁻¹ היא הפונקציה ההופכית. אם f(3)=7 אז f⁻¹(7)=3.
- 8 — תחילה g(1) = 1 + 3 = 4. לאחר מכן f(4) = 2 × 4 = 8
- t = 2.5 שניות — t_v = −25/(−10) = 2.5 שניות.
- −1 < x < 2 — x + 2 > x² ⇒ x² − x − 2 < 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 2.