חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. x = 3, x = −1 — x − 1 = ±2 ⇒ x = 3 או x = −1.
2. g(x) = √(x/4) — מתיחה אופקית פי 4 = החלפת x ב-x/4. מתקבל √(x/4).
3. −25/4 — h(x) = x² − x − 6. x_v = 1/2. h(1/2) = 1/4 − 1/2 − 6 = −25/4.
4. g(x) = x² + 4 — הזזה אנכית של k יחידות מעלה: g(x) = f(x) + k. כאן k = 4, ולכן g(x) = x² + 4.
5. מתיחה אופקית פי 3 והזזה 4 מטה — x/3 בתוך הריבוע = מתיחה אופקית פי 3. −4 = הזזה 4 מטה.
6. (5, 3) — ימינה 3: x → x + 3 = 5. מטה 2: y → y − 2 = 3. הנקודה החדשה: (5, 3).
7. y = 9 — x² = 9 ⇒ נקודות חיתוך של y = x² עם הישר האופקי y = 9.
8. 30 — x_v = −60/(−2) = 30. כמות 30 ממקסמת רווח.
9. x ≥ 4 — ביטוי תחת שורש ≥ 0: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
10. 3√(−x + 2) − 1 — f(−x + 2) = √(−x + 2). הכפלה ב-3 והפחתה של 1: 3√(−x + 2) − 1.
11. g(x) = −√(−x), x ≤ 0 — f(−x) = √(−x), דורש −x ≥ 0 כלומר x ≤ 0. ואז שיקוף ל-x: −√(−x).
12. כיווץ אופקי פי 4 — f(qx) עם q = 4 (q > 1) הוא כיווץ אופקי בקנה מידה 1/q = 1/4, כלומר פי 4.
13. g(x) = −√x/2 — כיווץ אנכי פי 2: ½·f(x). שיקוף לציר ה-x: סימן מינוס. מתקבל −√x/2.
14. g(x) = −x² + 4 — שיקוף לציר ה-x: −x². ואז הזזה 4 מעלה: −x² + 4.
15. 3 ימינה ו-2 מטה — (0, 0) → (3, −2): x עלה ב-3 (ימינה), y ירד ב-2 (מטה).
16. 100 — x + y = 20 ⇒ S(x) = x(20 − x) = −x² + 20x. מקסימום ב-x = 10, S = 100.
17. מתיחה אנכית פי 4 ושיקוף לציר ה-x — המקדם −4 = (−1)·4. הכפל ב-4 הוא מתיחה אנכית פי 4, והמינוס הוא שיקוף לציר ה-x.
18. שמאלה 2, שיקוף ל-x, מעלה 3 — g(x) = −(x + 2)² + 3. שמאלה 2, שיקוף ל-x ע"י מינוס, +3 מעלה.
19. שיקוף לציר ה-y, מעלה 2 — f(−x): שיקוף לציר ה-y. +2: מעלה 2. תחום חדש x ≤ 0.
20. (0, 0) — מתיחה/כיווץ אנכי אינם משנים את נקודת הקיצון של x², שהיא (0, 0).
21. y = x² − 2x ו-y = x + 4 — המשוואה היא f(x) = g(x) ⇒ חיתוך y = x² − 2x עם y = x + 4.
22. g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2: g(x) = f(2x) = (2x)². המקדם נכנס אל הקלט.
23. 8 — f(−2) = (−2)³ = −8. g(−2) = −f(−2) = −(−8) = 8.
24. x < −1 או x > 4 — x² − 4 > 3x ⇒ x² − 3x − 4 > 0 ⇒ (x − 4)(x + 1) > 0 ⇒ x < −1 או x > 4.
25. (0, 7) — f(x) = √x מתחיל ב-(0, 0). הזזה 7 מעלה מעבירה את הנקודה ל-(0, 7).
26. שיקוף ה-y לא משנה כי |x| זוגית — |−x| = |x|, ולכן f זוגית והשיקוף לציר ה-y מחזיר אותה פונקציה. שיקוף לציר ה-x משנה ל-−|x|.
27. זהה ל-−|x| — |−x| = |x|, ולכן −|−x| = −|x|. פונקציה זוגית לא משתנה משיקוף ל-y.
28. (0, 0) — מקסימום — שיקוף לציר ה-x הופך את נקודת המינימום (0, 0) לנקודת מקסימום באותו מיקום.
29. הזזה ימינה 1 ומעלה 4 — (x − 1) ⇒ הזזה ימינה ב-1. + 4 ⇒ הזזה מעלה ב-4.
30. מתיחה אופקית פי 3 — f(qx) עם q = 1/3 הוא מתיחה אופקית בקנה מידה 1/q = 3.