חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. x ≥ 4 — ביטוי תחת שורש ≥ 0: x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
2. g(x) = (x − 2)² + 5 — הזזה ימינה: f(x − 2). הזזה מעלה: + 5. יחד: g(x) = (x − 2)² + 5.
3. k < 0 — x² + 1 = 2x + k ⇒ x² − 2x + (1 − k) = 0. Δ = 4 − 4(1 − k) = 4k. ללא חיתוך ⇒ Δ < 0 ⇒ k < 0.
4. 5 ימינה — x² − 10x + 25 = (x − 5)². זו הזזה ימינה של 5 יחידות.
5. x = 3, x = −1 — x − 1 = ±2 ⇒ x = 3 או x = −1.
6. (16, 2) — מתיחה אופקית פי 2: x → 2x = 16. y נשאר 2.
7. g(x) = −|x − 2| — הזזה ימינה: |x − 2|. שיקוף לציר ה-x: −|x − 2|.
8. g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2: g(x) = f(2x) = (2x)². המקדם נכנס אל הקלט.
9. 3 — f⁻¹ היא הפונקציה ההופכית. אם f(3)=7 אז f⁻¹(7)=3.
10. g(x) = (2x)² — כיווץ אופקי פי 2 מתבטא ב-f(2x) = (2x)². המקדם בתוך הקלט.
11. a < 4 — Δ > 0 ⇒ 16 − 4a > 0 ⇒ a < 4.
12. (−1, 1), (2, 4) — x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) = 0. x = 2: y = 4. x = −1: y = 1.
13. שניים — x(x − 4) = 0 ⇒ x = 0 ו-x = 4. שתי נקודות חיתוך.
14. שיקוף לציר ה-x — g(x) = −f(x) — סימן מינוס בפלט, כלומר שיקוף לציר ה-x.
15. 21 — f(2) = 7. g(f(2)) = g(7) = 3(7) = 21.
16. x ≠ 5 — מכנה ≠ 0 ⇒ x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5.
17. x² + 5x + 1 — f + g = x² + 2x + 3x + 1 = x² + 5x + 1.
18. g(x) = −x³ + 2x — g(x) = f(−x) = (−x)³ − 2(−x) = −x³ + 2x.
19. כיווץ אנכי פי 2 — המקדם ½ הוא בין 0 ל-1, מה שמייצג כיווץ אנכי פי 2 (פי 1/(½) = 2).
20. כיווץ אופקי ×1/2, ימינה 1, מעלה 3 — f(bx) עם b = 2 ⇒ כיווץ אופקי פי 1/2. x − 1 ⇒ ימינה 1. +3 ⇒ מעלה 3.
21. x < −1 או x > 4 — x² − 4 > 3x ⇒ x² − 3x − 4 > 0 ⇒ (x − 4)(x + 1) > 0 ⇒ x < −1 או x > 4.
22. שיקוף לציר ה-y, מעלה 2 — f(−x): שיקוף לציר ה-y. +2: מעלה 2. תחום חדש x ≤ 0.
23. x = 3, x = −3 — y = |x| חותך את y = 3 בשתי נקודות x = ±3.
24. הזזה 1 ימינה ו-4 מעלה — (x − 1) = ימינה 1. +4 = מעלה 4.
25. 30 — x_v = −60/(−2) = 30. כמות 30 ממקסמת רווח.
26. 9 — g(2) = f(3·2) = f(6) = 9.
27. x = 10 — x_v = 40/4 = 10.
28. 5 יחידות ימינה — g(x) = f(x − 5), והצורה f(x − p) עם p > 0 מתאימה להזזה ימינה.
29. y ≥ 0 — x² ≥ 0 לכל x. תחום הערכים: y ≥ 0.
30. −25/4 — h(x) = x² − x − 6. x_v = 1/2. h(1/2) = 1/4 − 1/2 − 6 = −25/4.