⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י׳ · יסודות בגרות · 30 שאלות · ~75 דק'
📈
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל
30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.
מה כלול בדף העבודה הזה?
דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.
איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית
- הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
- פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
- בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
- חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
- כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.
למה הדף הזה עוזר?
דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.
דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק
- 📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
- 🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'
- 1.מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = x² + 5x - 3?y = x² + 5x − 3
- 2.f(x) = x³. כתוב את ½·f(2x) − 4.y = x
- 3.g(x) = −4x³. אילו טרנספורמציות חלו על f(x) = x³?y = x
- 4.נתון g(x) = √x + 7. מהי נקודת ההתחלה של הגרף (על ציר ה-y)?
- 5.נתונות f(x) = x + 2 ו-g(x) = x². מהו g(f(0))?y = x + 2
- 6.f(x) = x². עוברים ל-g(x) = (3x − 6)². זהה את הטרנספורמציות.y = x²
- 7.כמה נקודות חיתוך יש בין y = x² ו-y = −x² + 4?y = x²y = −x² + 4
- 8.ידוע g(x) = −f(2x). אילו טרנספורמציות חלו על f?
- 9.g(x) = (4x)². במה שונה g מ-f(x) = x²?y = x²
- 10.f(x) = |x|. כתוב את −|x − 3| + 5. אילו טרנספורמציות חלו (בסדר)?
- 11.g(x) = −0.25·√x. תאר אילו טרנספורמציות חלו על √x.
- 12.f(x) = |x|. נקודה (2, 2) עוברת לאן ב-g(x) = −3|x − 1| + 5?
- 13.נקודה (3, −2) על f(x). היכן היא בגרף −f(−x)?
- 14.נתון f(x) = x². קיבלנו g(x) = x² − 10x + 25. איזו הזזה אופקית בוצעה?y = x²
- 15.g(x) = f(x/3) כאשר f(x) = √x. אילו טרנספורמציה זו?
- 16.מהי הנקודה החדשה של (8, 2) אחרי מתיחה אופקית פי 2?
- 17.פתור גרפית: x² = 2x + 3.
- 18.f(x) = |x|. כתוב g(x) שהיא כיווץ אופקי פי 3.
- 19.מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = √x?
- 20.באיזה תחום הישר y = x + 2 מעל הפרבולה y = x²?y = x + 2y = x²
- 21.f(x) = x² ו-g(x) = 2x. מהי g∘f(3)?y = x²
- 22.נתונות f(x) = x² ו-g(x) = x - 1. מהו f(g(3))?y = x²
- 23.נתון g(x) = −2|x + 3| − 1. אילו טרנספורמציות חלו על f(x) = |x|?
- 24.מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = 1/x?
- 25.כדור נזרק לגובה h(t) = −5t² + 30t. מתי הוא חוזר לקרקע?
- 26.נתון g(x) = 4 − 2|x|. אילו טרנספורמציות חלו על f(x) = |x|?
- 27.מהו טווח הערכים של g(x) = √x + 3?
- 28.פתרון גרפי של הוא חיתוך אילו פונקציות?
- 29.f(x) = √x. כתוב פונקציה שהיא מתיחה אנכית פי 5 של f.
- 30.כמה פתרונות יש למשוואה x² + 1 = x?
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
פתרונות
- כל המספרים הממשיים — פולינום מוגדר לכל ערך של x. אין הגבלות על תחום ההגדרה
- (2x)³/2 − 4 — f(2x) = (2x)³. כפל ב-½: (2x)³/2. החסר 4: (2x)³/2 − 4.
- מתיחה אנכית פי 4 ושיקוף לציר ה-x — המקדם −4 = (−1)·4. הכפל ב-4 הוא מתיחה אנכית פי 4, והמינוס הוא שיקוף לציר ה-x.
- (0, 7) — f(x) = √x מתחיל ב-(0, 0). הזזה 7 מעלה מעבירה את הנקודה ל-(0, 7).
- 4 — f(0) = 0 + 2 = 2. g(f(0)) = g(2) = 2² = 4
- כיווץ אופקי ×1/3, ימינה 2 — (3x − 6)² = (3(x − 2))². כיווץ אופקי פי 1/3 והזזה ימינה 2.
- שתיים — x² = −x² + 4 ⇒ 2x² = 4 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.
- כיווץ אופקי פי 2 ושיקוף לציר ה-x — f(2x) = כיווץ אופקי פי 2. המינוס בחוץ = שיקוף לציר ה-x.
- כיווץ אופקי פי 4 — f(qx) עם q = 4 (q > 1) הוא כיווץ אופקי בקנה מידה 1/q = 1/4, כלומר פי 4.
- 3 ימינה, שיקוף לציר ה-x, 5 מעלה — (x − 3) = ימינה ב-3. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +5 = 5 מעלה.
- כיווץ אנכי פי 4 ושיקוף לציר ה-x — |−0.25| = 0.25 = ¼. כיווץ אנכי פי 4. הסימן השלילי = שיקוף לציר ה-x.
- (3, −1) — x חדש: 2 + 1 = 3 (ימינה 1). y חדש: −3·2 + 5 = −6 + 5 = −1.
- (−3, 2) — שיקוף ל-y: x → −x = −3. שיקוף ל-x: y → −y = 2. הנקודה: (−3, 2).
- 5 ימינה — x² − 10x + 25 = (x − 5)². זו הזזה ימינה של 5 יחידות.
- מתיחה אופקית פי 3 — f(qx) עם q = 1/3 הוא מתיחה אופקית בקנה מידה 1/q = 3.
- (16, 2) — מתיחה אופקית פי 2: x → 2x = 16. y נשאר 2.
- x = 3, x = −1 — x² − 2x − 3 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 1) = 0.
- g(x) = |3x| — כיווץ אופקי פי 3: x → 3x. מתקבל |3x|.
- x ≥ 0 — שורש ריבועי מוגדר רק עבור מספרים אי-שליליים. תחום ההגדרה: x ≥ 0
- −1 < x < 2 — x + 2 > x² ⇒ x² − x − 2 < 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 2.
- 18 — f(3) = 9. g(f(3)) = g(9) = 2(9) = 18.
- 4 — g(3) = 3 - 1 = 2. f(2) = 2² = 4
- שמאלה 3, מתיחה ×2, שיקוף ל-x, מטה 1 — x + 3: שמאלה 3. ×(−2): מתיחה פי 2 + שיקוף ל-x. −1: מטה 1.
- כל המספרים הממשיים חוץ מ-0 — אסור לחלק באפס, לכן x = 0 מוצא מתחום ההגדרה. כל x ≠ 0 מותר
- t = 6 שניות — h(t) = 0 ⇒ t(−5t + 30) = 0 ⇒ t = 0 או t = 6. חזרה לקרקע ב-t = 6.
- מתיחה ×2, שיקוף ל-x, מעלה 4 — g(x) = −2|x| + 4. מתיחה פי 2 + שיקוף ל-x + הזזה מעלה 4.
- y ≥ 3 — √x ≥ 0, לכן √x + 3 ≥ 3. טווח y ≥ 3.
- $y = x^2 - 2x$ ו-$y = x + 4$ — כדי לפתור גרפית את $x^2 - 2x = x + 4$, מזהים את שני האגפים כפונקציות נפרדות: האגף השמאלי $f(x) = x^2 - 2x$ והאגף הימני $g(x) = x + 4$. נקודות החיתוך של שתי הפונקציות הן הפתרון הגרפי של המשוואה.
- g(x) = 5√x — מתיחה אנכית פי 5: g(x) = 5·f(x) = 5√x. המקדם מחוץ לשורש.
- אין פתרונות — x² − x + 1 = 0. Δ = 1 − 4 = −3 < 0. אין פתרונות ממשיים.