⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י׳ · יסודות בגרות · 30 שאלות · ~75 דק'
📈
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל
30 שאלות בנגזרות, חקירת פונקציות, בעיות קיצון ואינטגרלים — לב הבגרות.
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 30
חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא הנושא המרכזי והקשה ביותר בבגרות 4 יח"ל. דף זה כולל 30 שאלות מודרגות: חישוב נגזרת לפי כלל החזקה, מציאת משיק, חקירה מלאה של פולינום, נקודות קיצון מקומיות ומוחלטות, בעיות קיצון גאומטריות, ואינטגרציה. רמת הקושי תואמת לשאלון 471 — שליטה בנושא = הבדל של 15 נקודות בציון.
מה כלול בדף העבודה הזה?
דף העבודה כולל 30 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: גשר הפונקציות. הדף מותאם לתלמידי כיתה י׳ · יסודות בגרות ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.
איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית
- הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
- פתרו את כל ה-30 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
- בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
- חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
- כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.
למה הדף הזה עוזר?
דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-30 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.
דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק
- 📈 פונקציה ליניארית — תרגול לכיתה ח' · 25 שאלות · ~40 דק'
- 🎯 אלגברה — דף תרגול לבגרות 4 יח"ל (כיתה י') · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 גאומטריה אנליטית של ישר — בגרות 4 יח"ל · 25 שאלות · ~50 דק'
- 📐 טריגונומטריה במשולש ישר זווית — בגרות 4 יח"ל · 20 שאלות · ~45 דק'
- 1.מהו טווח הערכים של g(x) = √x + 3?
- 2.g(x) = (1/2)·x² − שילוב של אילו טרנספורמציות?
- 3.f(x) = |x|. כתוב את הפונקציה לאחר מתיחה אופקית פי 4.
- 4.g(x) = (x − 1)² − 4 התקבלה מ-f(x) בהזזה של 1 ימינה ו-4 מטה. מהי f(x)?
- 5.f(x) = |x|. בצע: הזזה ימינה ב-2 ושיקוף לציר ה-x. מהי g(x)?
- 6.f(x) = x². כתוב את הפונקציה: שיקוף לציר ה-x ואז הזזה 4 מעלה.y = x²
- 7.אבן נופלת ממגדל בגובה 80 מטר: h(t) = 80 − 5t². מתי מגיעה לקרקע?
- 8.מהי האסימפטוטה האנכית של g(x) = 1/(x + 5) + 2?
- 9.מהן נקודות החיתוך של f(x) = x² ו-g(x) = x + 2?y = x²
- 10.f(x) = |x| − 4. מהי נקודת המינימום של הפונקציה?
- 11.נתון f(x) = x² ו-g(x) = −3(x + 2)² − 1. אילו טרנספורמציות בוצעו על f?y = x²
- 12.f(x) = x³. כתוב g(x) המתקבלת משיקוף לציר ה-x ולציר ה-y יחד.y = x
- 13.מהו טווח הערכים של g(x) = 3 − √(x + 1)?
- 14.נתון f(x) = x² + 1 ו-g(x) = 2x. מהו (f · g)(1)?y = x² + 1
- 15.כמה נקודות חיתוך יש לישר y = x עם הפרבולה y = x² − 2?y = xy = x² − 2
- 16.מחיר מוצר ירד מ-100 ₪ ב-x ₪. מספר היחידות הנמכרות: 20 + x. מהו x שממקסם הכנסה?
- 17.נתונות ו-. מהו ?y = x + 5
- 18.פתור: √x = x − 2 (x ≥ 0).
- 19.מהו תחום ההגדרה של y = 1/x?
- 20.f(x) = 2x ו-g(x) = x + 1. מהי (g∘f)(x)?y = 2x
- 21.g(x) = a·x² ועובר בנקודה (2, 12). מהו a?
- 22.כדור נזרק לגובה h(t) = −5t² + 30t. מתי הוא חוזר לקרקע?
- 23.ידוע ש-g(x) = −f(2x). אילו טרנספורמציות חלו על f?
- 24.נתון f(x) = x² − 4x ו-g(x) = x. מהן נקודות החיתוך?y = x² − 4x
- 25.כמה נקודות חיתוך יש בין y = x² ו-y = −x² + 4?y = x²y = −x² + 4
- 26.f(x) = |x|. נקודה (2, 2) עוברת לאן ב-g(x) = −3|x − 1| + 5?
- 27.f(x) = x² נמתחה אנכית פי 3 ושוקפה לציר ה-x. מה הקודקוד החדש ביחס לישן (0, 0)?y = x²
- 28.מהי תוצאת הזזה של f(x) = |x| ב-5 יחידות מטה?
- 29.הפונקציה f(x) = x² מוזזת 4 יחידות מעלה. מהי הפונקציה החדשה g(x)?y = x²
- 30.g(x) = f(4x) + 2. אילו טרנספורמציות חלו על f?
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
פתרונות
- y ≥ 3 — √x ≥ 0, לכן √x + 3 ≥ 3. טווח y ≥ 3.
- כיווץ אנכי פי 2 — המקדם ½ הוא בין 0 ל-1, מה שמייצג כיווץ אנכי פי 2 (פי 1/(½) = 2).
- g(x) = |x/4| — מתיחה אופקית פי 4: g(x) = f(x/4) = |x/4|.
- f(x) = x² — הזזה הפוכה ל-g תחזיר אותנו ל-f. (x − 1 + 1)² − 4 + 4 = x².
- g(x) = −|x − 2| — הזזה ימינה: |x − 2|. שיקוף לציר ה-x: −|x − 2|.
- g(x) = −x² + 4 — שיקוף לציר ה-x: −x². ואז הזזה 4 מעלה: −x² + 4.
- t = 4 שניות — 80 − 5t² = 0 ⇒ t² = 16 ⇒ t = 4.
- x = −5 — האסימפטוטה האנכית במקום שבו המכנה מתאפס: x + 5 = 0, כלומר x = −5.
- (−1, 1), (2, 4) — x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 1) = 0. x = 2: y = 4. x = −1: y = 1.
- (0, −4) — |x| מתאפס ב-x = 0, ולאחר הזזה 4 מטה הערך הוא −4. נקודת מינימום: (0, −4).
- שמאלה 2, מתיחה פי 3, שיקוף לציר ה-x, מטה 1 — (x + 2) ⇒ שמאלה 2. מקדם |−3| = 3 ⇒ מתיחה אנכית פי 3. הסימן השלילי ⇒ שיקוף לציר ה-x. −1 ⇒ מטה 1.
- g(x) = x³ — −f(−x) = −(−x)³ = −(−x³) = x³. שיקופים כפולים על פונקציה אי-זוגית מחזירים אותה.
- y ≤ 3 — √(x + 1) ≥ 0 ⇒ −√(x + 1) ≤ 0 ⇒ 3 − √(x + 1) ≤ 3.
- 4 — f(1) = 2, g(1) = 2. (f · g)(1) = 2 · 2 = 4.
- 2 — x² − 2 = x ⇒ x² − x − 2 = 0 ⇒ (x−2)(x+1) = 0. שתי נקודות חיתוך.
- x = 40 — I(x) = (100 − x)(20 + x) = −x² + 80x + 2000. x_v = 80/2 = 40.
- $2x + 5$ — מחשבים $g(x) = 2x$, ואז מציבים ב-$f$: $f(g(x)) = f(2x) = 2x + 5$. שגיאה נפוצה היא להציב $x$ ולקבל $x + 10$, או לכפול את הקבוע ולקבל $2x + 10$, או להכפיל גם את המקדם וגם את הקבוע בנפרד ולקבל $3x + 5$.
- x = 4 — העלאה בריבוע: x = x² − 4x + 4 ⇒ x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 או x = 4. בדיקה: x = 1 ⇒ 1 = −1 פסול. x = 4 ⇒ 2 = 2 ✓.
- כל x ≠ 0 — חלוקה באפס לא מוגדרת. תחום: כל x חוץ מ-x=0.
- 2x + 1 — g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.
- 3 — 12 = a·4 ⇒ a = 3. המקדם של המתיחה האנכית הוא 3.
- t = 6 שניות — h(t) = 0 ⇒ t(−5t + 30) = 0 ⇒ t = 0 או t = 6. חזרה לקרקע ב-t = 6.
- כיווץ אופקי פי 2 + שיקוף לציר ה-x — f(2x) ⇒ q = 2 ⇒ כיווץ אופקי פי 2. סימן מינוס בחוץ ⇒ שיקוף לציר ה-x.
- (0, 0), (5, 5) — x² − 4x = x ⇒ x² − 5x = 0 ⇒ x(x − 5) = 0. x = 0: y = 0. x = 5: y = 5.
- שתיים — x² = −x² + 4 ⇒ 2x² = 4 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.
- (3, −1) — x חדש: 2 + 1 = 3 (ימינה 1). y חדש: −3·2 + 5 = −6 + 5 = −1.
- (0, 0) — לא משתנה — מתיחה אנכית ושיקוף סביב הראשית לא מזיזים את הקודקוד (0, 0).
- g(x) = |x| − 5 — הזזה מטה ב-5 יחידות: g(x) = f(x) − 5 = |x| − 5.
- g(x) = x² + 4 — הזזה אנכית של k יחידות מעלה: g(x) = f(x) + k. כאן k = 4, ולכן g(x) = x² + 4.
- כיווץ אופקי פי 4 והזזה 2 מעלה — f(4x): כיווץ אופקי פי 4. +2 בסוף: הזזה 2 מעלה.