חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. 5 יחידות ימינה — g(x) = f(x − 5), והצורה f(x − p) עם p > 0 מתאימה להזזה ימינה.
2. y ≥ 3 — √x ≥ 0, לכן √x + 3 ≥ 3. טווח y ≥ 3.
3. 30 — x_v = −60/(−2) = 30. כמות 30 ממקסמת רווח.
4. g(x) = (x − 2)² + 5 — הזזה ימינה: f(x − 2). הזזה מעלה: + 5. יחד: g(x) = (x − 2)² + 5.
5. מתיחה אופקית פי 3 — f(qx) עם q = 1/3 הוא מתיחה אופקית בקנה מידה 1/q = 3.
6. שמאלה 4, כיווץ אנכי ×1/2, מטה 3 — x + 4: שמאלה 4. ×1/2: כיווץ אנכי. −3: מטה 3.
7. x ≠ 5 — מכנה ≠ 0 ⇒ x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5.
8. שתיים — x² = −x² + 4 ⇒ 2x² = 4 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.
9. y ≥ 0 — x² ≥ 0 לכל x. תחום הערכים: y ≥ 0.
10. 8 — תחילה g(1) = 1 + 3 = 4. לאחר מכן f(4) = 2 × 4 = 8
11. g(x) = (x + 1)³ + 8 — שמאלה 1: x → x + 1. מעלה 8: +8. מתקבל (x + 1)³ + 8.
12. 4 — f(1) = 2, g(1) = 2. (f · g)(1) = 2 · 2 = 4.
13. 4 — g(3) = 3 - 1 = 2. f(2) = 2² = 4
14. (1, 0) ו-(−5, 0) — פותרים (x + 2)² = 9 → x + 2 = ±3 → x = 1 או x = −5.
15. x ≤ −2 או x ≥ 2 — x² − 4 ≥ 0 ⇒ x² ≥ 4 ⇒ |x| ≥ 2.
16. 15 — g(2) = 3·f(2) = 3·5 = 15.
17. x = −5 — האסימפטוטה האנכית במקום שבו המכנה מתאפס: x + 5 = 0, כלומר x = −5.
18. g(x) = √(−x) + 3 — שיקוף לציר ה-y: √(−x). הזזה 3 מעלה: √(−x) + 3.
19. x² + 5x + 1 — f + g = x² + 2x + 3x + 1 = x² + 5x + 1.
20. g(x) = |x/2| − 1 — הצבה ישירה: f(x/2) = |x/2|, ואז מורידים 1.
21. g(x) = √(x/4) — מתיחה אופקית פי 4 = החלפת x ב-x/4. מתקבל √(x/4).
22. הזזה 2 ימינה ו-6 מעלה — (x − 2)² מעיד על הזזה 2 ימינה, ו-+6 על הזזה 6 מעלה.
23. 3 ימינה ו-2 מטה — (0, 0) → (3, −2): x עלה ב-3 (ימינה), y ירד ב-2 (מטה).
24. t = 2.5 שניות — t_v = −25/(−10) = 2.5 שניות.
25. g(x) = |x/4| — מתיחה אופקית פי 4: g(x) = f(x/4) = |x/4|.
26. 10 < n < 70 — −n² + 80n − 700 > 0 ⇒ n² − 80n + 700 < 0. שורשים: 10 ו-70. בין השורשים.
27. שיקוף ל-x, 4 ימינה, 1 מעלה — x − 4 = ימינה ב-4. סימן מינוס מחוץ = שיקוף לציר ה-x. +1 = הזזה מעלה.
28. y ≤ 4 — מקסימום בקודקוד (1, 4). a = −1 < 0 ⇒ y ≤ 4.
29. 8 — f(−2) = (−2)³ = −8. g(−2) = −f(−2) = −(−8) = 8.
30. 21 — f(2) = 7. g(f(2)) = g(7) = 3(7) = 21.