פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
2. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \times 3 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
3. $(-4, 3)$ — משווים: $-2x + -5 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = -2 \cdot (-4) + -5 = 3$. נקודת החיתוך: $(-4, 3)$.
4. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + -6$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
5. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -2)(x - 1) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
6. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
7. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
8. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
9. $y = -3x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{2 - -1}{1 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -1 - (-3)(2) = 5$. המשוואה: $y = -3x + 5$.
10. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
11. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
12. $(1, -8)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (1)^{2} + -4 \cdot (1) + -6 = -8$. הקודקוד: $(1, -8)$.
13. $y = -6x + 11$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - 1} = -6$. נציב נקודה: $b = 5 - (-6)(1) = 11$. המשוואה: $y = -6x + 11$.
14. $(0, 3)$ — משווים: $-2x + 3 = 3x + 3$. מכאן $-5x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot (0) + 3 = 3$. נקודת החיתוך: $(0, 3)$.
15. $(3, 11)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (3)^{2} + 6 \cdot (3) + 2 = 11$. הקודקוד: $(3, 11)$.
16. $(2, -6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (2)^{2} + -4 \cdot (2) + -2 = -6$. הקודקוד: $(2, -6)$.
17. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
18. −3 — נציב $x = -1: f(-1) = -2 \cdot (-1)^{2} + 1 \cdot (-1) + 0 = -2 + -1 + 0 = -3$.
19. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
20. 5 — נציב $x = 1: f(1) = 3 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 1 = 3 + 1 + 1 = 5$.
21. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 3 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + -2 = 3 + 3 + -2 = 4$.
22. $(3, 0)$ — נציב $x = 3: y = 1 \cdot (3) + -3 = 0$. לכן הנקודה $(3, 0)$ נמצאת על הישר.
23. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 60 \times 4 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
24. x < 2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 2$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 2.
25. כלפי מעלה (יש מינימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = 1$ חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה מינימום.
26. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
27. $(4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -2x + 8$, ומכאן $x = 4$. הנקודה היא $(4, 0)$.
28. −2 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −2, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −2.
29. $y = -2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -1}{3 - 1} = -2$. נציב נקודה: $b = -1 - (-2)(1) = 1$. המשוואה: $y = -2x + 1$.
30. $(0, 2)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + -4 \cdot 0 + 2 = 2$. הנקודה: $(0, 2)$.
31. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
32. 4 מטר, בזמן 2 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$ שניות. הגובה: $h(2) = 4$ מטר.
33. 6 יחידות, רווח 42 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 6$ יחידות. הרווח: $R(6) = 42$ ש"ח.
34. $(3, 8)$ — משווים: $3x + -1 = 1x + 5$. מכאן $2x = 6$, אז $x = 3$. נציב: $y = 3 \cdot (3) + -1 = 8$. נקודת החיתוך: $(3, 8)$.
35. $y = -2x - 9$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (-2) + b$, ומכאן $b = -9$. לכן המשוואה: $y = -2x - 9$.