פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + -6$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
2. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
3. $(-4, 3)$ — משווים: $-2x + -5 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = -2 \cdot (-4) + -5 = 3$. נקודת החיתוך: $(-4, 3)$.
4. $x = -2$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot -2} = -2$.
5. $(3, 0)$ — נציב $x = 3: y = 1 \cdot (3) + -3 = 0$. לכן הנקודה $(3, 0)$ נמצאת על הישר.
6. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
7. −2 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −2, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −2.
8. $y = -2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -1}{3 - 1} = -2$. נציב נקודה: $b = -1 - (-2)(1) = 1$. המשוואה: $y = -2x + 1$.
9. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
10. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
11. $y = -3x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{2 - -1}{1 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -1 - (-3)(2) = 5$. המשוואה: $y = -3x + 5$.
12. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -6)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
13. x < 2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 2$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 2.
14. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
15. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
16. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
17. $y = -2x - 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -1$. לכן המשוואה: $y = -2x - 1$.
18. $y = 2x - 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 2$ ואת הנקודה: $-2 = 2 \cdot (1) + b$, ומכאן $b = -4$. לכן המשוואה: $y = 2x - 4$.
19. 12 — נציב $x = -2: f(-2) = 2 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -2 = 8 + 6 + -2 = 12$.
20. $x = 0 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 2x = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 0)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 2$.
21. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
22. 450 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 90 \times 5 = 450$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
23. $(1, -2)$ — משווים: $-1x + -1 = -2x + 0$. מכאן $1x = 1$, אז $x = 1$. נציב: $y = -1 \cdot (1) + -1 = -2$. נקודת החיתוך: $(1, -2)$.
24. $(-2, 3)$ — משווים: $-1x + 1 = 1x + 5$. מכאן $-2x = 4$, אז $x = -2$. נציב: $y = -1 \cdot (-2) + 1 = 3$. נקודת החיתוך: $(-2, 3)$.
25. כלפי מעלה (יש מינימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = 3$ חיובי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה ויש לה מינימום.
26. x < −3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -3$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −3.
27. $y = 5x + 5$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{5 - -5}{0 - -2} = 5$. נציב נקודה: $b = -5 - (5)(-2) = 5$. המשוואה: $y = 5x + 5$.
28. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
29. $(-1, -4)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + -3 = -4$. הקודקוד: $(-1, -4)$.
30. $(3, 11)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (3)^{2} + 6 \cdot (3) + 2 = 11$. הקודקוד: $(3, 11)$.
31. $y = 2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - 1}{-3 - 0} = 2$. נציב נקודה: $b = 1 - (2)(0) = 1$. המשוואה: $y = 2x + 1$.
32. $y = x + 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $3 = 1 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = 1$. לכן המשוואה: $y = x + 1$.
33. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-2 - 5}{5 - -2} = -\frac{7}{7} = -1$.
34. $x = 2 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 6x + 8 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 4)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 4$.
35. $(-4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 12$, ומכאן $x = -4$. הנקודה היא $(-4, 0)$.