פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $(0, 4)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = 2 \cdot 0 + -3 \cdot 0 + 4 = 4$. הנקודה: $(0, 4)$.
2. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 1)(x - -2) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
3. $(0, 5)$ — משווים: $1x + 5 = 3x + 5$. מכאן $-2x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot (0) + 5 = 5$. נקודת החיתוך: $(0, 5)$.
4. 1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2 - 1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1$.
5. −6 — נציב $x = -1: f(-1) = -1 \cdot (-1)^{2} + 3 \cdot (-1) + -2 = -1 + -3 + -2 = -6$.
6. $y = x - 2$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $1 = 1 \cdot (3) + b$, ומכאן $b = -2$. לכן המשוואה: $y = x - 2$.
7. $(-1, 0)$ — משווים: $-2x + -2 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 1$, אז $x = -1$. נציב: $y = -2 \cdot (-1) + -2 = 0$. נקודת החיתוך: $(-1, 0)$.
8. $(-3, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 9$, ומכאן $x = -3$. הנקודה היא $(-3, 0)$.
9. $y = x + 1$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $3 = 1 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = 1$. לכן המשוואה: $y = x + 1$.
10. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-2 - 5}{5 - -2} = -\frac{7}{7} = -1$.
11. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
12. $y = -6x - 21$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{3 - -3}{-4 - -3} = -6$. נציב נקודה: $b = -3 - (-6)(-3) = -21$. המשוואה: $y = -6x - 21$.
13. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
14. x < −1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -1$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −1.
15. x > 3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 3$. השיפוע 2 חיובי, ולכן הפונקציה עולה וחיובית מימין לנקודת האפס. תחום החיוביות: x > 3.
16. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
17. שיפוע −3, חיתוך עם y ב-2 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -3$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = 2$.
18. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -4x + 8$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
19. $(6, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 2x + -12$, ומכאן $x = 6$. הנקודה היא $(6, 0)$.
20. $(0, 7)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 7 = 7$. הנקודה: $(0, 7)$.
21. 12 — נציב $x = -2: f(-2) = 2 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -2 = 8 + 6 + -2 = 12$.
22. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
23. $(0, -5)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot 0 + -5 = -5$. הנקודה היא $(0, -5)$.
24. $x = 5$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
25. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
26. $(-2, 3)$ — משווים: $-1x + 1 = 1x + 5$. מכאן $-2x = 4$, אז $x = -2$. נציב: $y = -1 \cdot (-2) + 1 = 3$. נקודת החיתוך: $(-2, 3)$.
27. 2 — נציב $x = 1: f(1) = -2 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 3 = -2 + 1 + 3 = 2$.
28. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
29. $y = 2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - 1}{-3 - 0} = 2$. נציב נקודה: $b = 1 - (2)(0) = 1$. המשוואה: $y = 2x + 1$.
30. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−5 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -5$.
31. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
32. $(-2, -9)$ — נציב $x = -2: y = 3 \cdot (-2) + -3 = -9$. לכן הנקודה $(-2, -9)$ נמצאת על הישר.
33. $(0, 1)$ — משווים: $-1x + 1 = 3x + 1$. מכאן $-4x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot (0) + 1 = 1$. נקודת החיתוך: $(0, 1)$.
34. $y = -2x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -1}{3 - 1} = -2$. נציב נקודה: $b = -1 - (-2)(1) = 1$. המשוואה: $y = -2x + 1$.
35. $(0, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -4 \cdot 0 + 0 = 0$. הנקודה היא $(0, 0)$.