פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. $y = -2x - 9$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (-2) + b$, ומכאן $b = -9$. לכן המשוואה: $y = -2x - 9$.
2. $y = -x + 6$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $2 = -1 \cdot (4) + b$, ומכאן $b = 6$. לכן המשוואה: $y = -x + 6$.
3. $(-3, -13)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-3)^{2} + 6 \cdot (-3) + -4 = -13$. הקודקוד: $(-3, -13)$.
4. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 1)(x - -2) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
5. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
6. x < −3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -3$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −3.
7. $x = 2 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 6x + 8 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 4)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 4$.
8. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
9. $(0, 3)$ — משווים: $-2x + 3 = 3x + 3$. מכאן $-5x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot (0) + 3 = 3$. נקודת החיתוך: $(0, 3)$.
10. $x = 0 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 4x = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 0)(x - 4) = 0$, ומכאן $x = 0$ או $x = 4$.
11. $(-2, 3)$ — משווים: $-1x + 1 = 1x + 5$. מכאן $-2x = 4$, אז $x = -2$. נציב: $y = -1 \cdot (-2) + 1 = 3$. נקודת החיתוך: $(-2, 3)$.
12. $(-2, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = -2$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (-2)^{2} + -4 \cdot (-2) + 1 = 5$. הקודקוד: $(-2, 5)$.
13. $(0, 6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 6 = 6$. הקודקוד: $(0, 6)$.
14. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−6 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -6$.
15. $(0, 5)$ — משווים: $1x + 5 = 3x + 5$. מכאן $-2x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot (0) + 5 = 5$. נקודת החיתוך: $(0, 5)$.
16. −3 — נציב $x = -1: f(-1) = -2 \cdot (-1)^{2} + 1 \cdot (-1) + 0 = -2 + -1 + 0 = -3$.
17. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
18. $(0, 0)$ — נציב $x = 0: y = 2 \cdot (0) + 0 = 0$. לכן הנקודה $(0, 0)$ נמצאת על הישר.
19. −2 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −2, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −2.
20. −2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{5 - -1}{1 - 4} = 6 / -3 = -2$.
21. $(0, 6)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot 0 + 6 = 6$. הנקודה היא $(0, 6)$.
22. $(0, 1)$ — משווים: $-1x + 1 = 3x + 1$. מכאן $-4x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot (0) + 1 = 1$. נקודת החיתוך: $(0, 1)$.
23. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
24. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + -6$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
25. x < 2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 2$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 2.
26. $x = -2$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot -2} = -2$.
27. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
28. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -4x + 8$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
29. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−5 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -5$.
30. $(0, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -2} = 0$. נציב למציאת $y: y = -2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 0 = 0$. הקודקוד: $(0, 0)$.
31. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
32. $(-3, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 9$, ומכאן $x = -3$. הנקודה היא $(-3, 0)$.
33. $(0, 5)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + -5 \cdot 0 + 5 = 5$. הנקודה: $(0, 5)$.
34. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -2)(x - 1) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
35. −6 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -6}{-5 - -3} = 12 / -2 = -6$.