פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. שיפוע −1, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -1$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
2. $(0, 6)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = -1 \cdot 0 + 6 = 6$. הנקודה היא $(0, 6)$.
3. 3 יחידות, רווח 9 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 3$ יחידות. הרווח: $R(3) = 9$ ש"ח.
4. $x = -6 , x = 6$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 36 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 6)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 6$.
5. $(-2, -9)$ — נציב $x = -2: y = 3 \cdot (-2) + -3 = -9$. לכן הנקודה $(-2, -9)$ נמצאת על הישר.
6. $(0, 9)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -1 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 9 = 9$. הנקודה: $(0, 9)$.
7. −2 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −2, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −2.
8. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−1 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -1$.
9. $y = 2x - 4$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 2$ ואת הנקודה: $-2 = 2 \cdot (1) + b$, ומכאן $b = -4$. לכן המשוואה: $y = 2x - 4$.
10. $(-4, -11)$ — משווים: $2x + -3 = 3x + 1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = 2 \cdot (-4) + -3 = -11$. נקודת החיתוך: $(-4, -11)$.
11. $(0, 4)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = 2 \cdot 0 + -3 \cdot 0 + 4 = 4$. הנקודה: $(0, 4)$.
12. $(3, 11)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (3)^{2} + 6 \cdot (3) + 2 = 11$. הקודקוד: $(3, 11)$.
13. $y = -x + 6$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -1$ ואת הנקודה: $2 = -1 \cdot (4) + b$, ומכאן $b = 6$. לכן המשוואה: $y = -x + 6$.
14. $(0, 0)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -2} = 0$. נציב למציאת $y: y = -2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 0 = 0$. הקודקוד: $(0, 0)$.
15. $x = 0$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
16. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
17. $(-4, -16)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) + 0 = -16$. הקודקוד: $(-4, -16)$.
18. 16 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 16$ מטר.
19. $x = -5 , x = -3$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 8x + 15 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -5)(x - -3) = 0$, ומכאן $x = -5$ או $x = -3$.
20. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
21. $y = x - 2$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 1$ ואת הנקודה: $1 = 1 \cdot (3) + b$, ומכאן $b = -2$. לכן המשוואה: $y = x - 2$.
22. 6 יחידות, רווח 42 ש"ח — הרווח המרבי בקודקוד. כמות אופטימלית: $x = -\frac{b}{2a} = 6$ יחידות. הרווח: $R(6) = 42$ ש"ח.
23. שיפוע 2, חיתוך עם y ב-−6 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = 2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -6$.
24. $x = -3$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
25. x < 1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 1$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 1.
26. $(-4, 3)$ — משווים: $-2x + -5 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 4$, אז $x = -4$. נציב: $y = -2 \cdot (-4) + -5 = 3$. נקודת החיתוך: $(-4, 3)$.
27. x < −2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -2$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −2.
28. $y = 4x - 3$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = 4$ ואת הנקודה: $5 = 4 \cdot (2) + b$, ומכאן $b = -3$. לכן המשוואה: $y = 4x - 3$.
29. x < −3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -3$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −3.
30. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 1)(x - -2) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
31. x < 1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 1$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 1.
32. $x = -2 , x = 1$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + x - 2 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -2)(x - 1) = 0$, ומכאן $x = -2$ או $x = 1$.
33. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
34. $(2, 2)$ — משווים: $1x + 0 = -1x + 4$. מכאן $2x = 4$, אז $x = 2$. נציב: $y = 1 \cdot (2) + 0 = 2$. נקודת החיתוך: $(2, 2)$.
35. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.