פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. x > 3 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 3$. השיפוע 2 חיובי, ולכן הפונקציה עולה וחיובית מימין לנקודת האפס. תחום החיוביות: x > 3.
2. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
3. $(0, -2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + -2 = -2$. הקודקוד: $(0, -2)$.
4. $(0, 0)$ — נציב $x = 0: y = 2 \cdot (0) + 0 = 0$. לכן הנקודה $(0, 0)$ נמצאת על הישר.
5. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -4x + 8$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
6. $(0, 6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 6 = 6$. הקודקוד: $(0, 6)$.
7. 17 — נציב $x = -2: f(-2) = 3 \cdot (-2)^{2} + -3 \cdot (-2) + -1 = 12 + 6 + -1 = 17$.
8. $(0, -2)$ — משווים: $1x + -2 = -2x + -2$. מכאן $3x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = 1 \cdot (0) + -2 = -2$. נקודת החיתוך: $(0, -2)$.
9. x < 1 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = 1$. השיפוע −3 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < 1.
10. −13 — נציב $x = -3: f(-3) = -1 \cdot (-3)^{2} + 1 \cdot (-3) + -1 = -9 + -3 + -1 = -13$.
11. $(-1, 0)$ — משווים: $-2x + -2 = -1x + -1$. מכאן $-1x = 1$, אז $x = -1$. נציב: $y = -2 \cdot (-1) + -2 = 0$. נקודת החיתוך: $(-1, 0)$.
12. $(-4, -16)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) + 0 = -16$. הקודקוד: $(-4, -16)$.
13. −3 — נציב $x = -1: f(-1) = -2 \cdot (-1)^{2} + 1 \cdot (-1) + 0 = -2 + -1 + 0 = -3$.
14. $(1, -8)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (1)^{2} + -4 \cdot (1) + -6 = -8$. הקודקוד: $(1, -8)$.
15. −5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −5.
16. −6 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - -6}{-5 - -3} = 12 / -2 = -6$.
17. −2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{5 - -1}{1 - 4} = 6 / -3 = -2$.
18. x < −2 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -2$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −2.
19. $y = -6x + 11$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-1 - 5}{2 - 1} = -6$. נציב נקודה: $b = 5 - (-6)(1) = 11$. המשוואה: $y = -6x + 11$.
20. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - -6)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
21. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 3 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + -2 = 3 + 3 + -2 = 4$.
22. $(2, -6)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (2)^{2} + -4 \cdot (2) + -2 = -6$. הקודקוד: $(2, -6)$.
23. $(0, -3)$ — חיתוך עם ציר ה-y מתקבל כאשר $x = 0$. נציב: $y = 3 \cdot 0 + -3 = -3$. הנקודה היא $(0, -3)$.
24. $x = 2 , x = 4$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} - 6x + 8 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 4)(x - 2) = 0$, ומכאן $x = 2$ או $x = 4$.
25. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 80 \times 3 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
26. $y = 2x - 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{2 - -2}{3 - 1} = 2$. נציב נקודה: $b = -2 - (2)(1) = -4$. המשוואה: $y = 2x - 4$.
27. $(0, 2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + 2 = 2$. הקודקוד: $(0, 2)$.
28. $(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
29. 200 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 40 \times 5 = 200$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
30. 33 — נציב $x = 3: f(3) = 3 \cdot (3)^{2} + 2 \cdot (3) + 0 = 27 + 6 + 0 = 33$.
31. 1 — נציב $x = 0: f(0) = 2 \cdot (0)^{2} + 1 \cdot (0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.
32. $(2, 2)$ — נציב $x = 2: y = 3 \cdot (2) + -4 = 2$. לכן הנקודה $(2, 2)$ נמצאת על הישר.
33. x < −4 — הפונקציה מתאפסת ב-$x = -4$. השיפוע −2 שלילי, ולכן הפונקציה יורדת וחיובית משמאל לנקודת האפס. תחום החיוביות: x < −4.
34. שיפוע −2, חיתוך עם y ב-−8 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -8$.
35. $(2, 2)$ — משווים: $1x + 0 = -1x + 4$. מכאן $2x = 4$, אז $x = 2$. נציב: $y = 1 \cdot (2) + 0 = 2$. נקודת החיתוך: $(2, 2)$.