פונקציות וחקירה — תרגול לבגרות 3 יח"ל (כיתה י"ב)

פתרונות

1. −5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא −5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא −5.
2. $y = -6x - 21$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{3 - -3}{-4 - -3} = -6$. נציב נקודה: $b = -3 - (-6)(-3) = -21$. המשוואה: $y = -6x - 21$.
3. $(0, 5)$ — חיתוך עם ציר ה-y כאשר $x = 0: y = -2 \cdot 0 + -5 \cdot 0 + 5 = 5$. הנקודה: $(0, 5)$.
4. שיפוע −2, חיתוך עם y ב-−8 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -2$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = -8$.
5. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = -4x + 8$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
6. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -2$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
7. 33 — נציב $x = 3: f(3) = 3 \cdot (3)^{2} + 2 \cdot (3) + 0 = 27 + 6 + 0 = 33$.
8. 5 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 5, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 5.
9. $(-1, 5)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + 6 = 5$. הקודקוד: $(-1, 5)$.
10. −2 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{5 - -1}{1 - 4} = 6 / -3 = -2$.
11. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 1 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + 0 = 1 + 3 + 0 = 4$.
12. 32 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -16/(2 \cdot (-2)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 32$ מטר.
13. $x = -6 , x = 2$ — מציבים $y = 0$ ופותרים $x^{2} + 4x - 12 = 0$. פירוק לגורמים: $(x - 2)(x - -6) = 0$, ומכאן $x = -6$ או $x = 2$.
14. $(4, 3)$ — נציב $x = 4: y = 1 \cdot (4) + -1 = 3$. לכן הנקודה $(4, 3)$ נמצאת על הישר.
15. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$.
16. כלפי מטה (יש מקסימום) — כיוון הפתיחה נקבע לפי סימן a. כאן $a = -1$ שלילי, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ויש לה מקסימום.
17. $(-1, 7)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = -1$. נציב למציאת $y: y = -1 \cdot (-1)^{2} + -2 \cdot (-1) + 6 = 7$. הקודקוד: $(-1, 7)$.
18. 16 מטר, בזמן 4 שניות — הגובה המרבי הוא בקודקוד הפרבולה. זמן הקודקוד: $t = -\frac{b}{2a} = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$ שניות. הגובה: $h(4) = 16$ מטר.
19. 4 — נציב $x = -1: f(-1) = 3 \cdot (-1)^{2} + -3 \cdot (-1) + -2 = 3 + 3 + -2 = 4$.
20. $y = x + 1$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-3 - 3}{-4 - 2} = 1$. נציב נקודה: $b = 3 - (1)(2) = 1$. המשוואה: $y = x + 1$.
21. 240 ק"מ — במהירות קבועה המרחק הוא פונקציה קווית: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן $= 60 \times 4 = 240$ ק"מ. השיפוע של הגרף הוא המהירות.
22. $(2, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + -6$, ומכאן $x = 2$. הנקודה היא $(2, 0)$.
23. −1 — שיפוע $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{-3 - -5}{0 - 2} = 2 / -2 = -1$.
24. $(-4, 0)$ — חיתוך עם ציר ה-x מתקבל כאשר $y = 0$. נפתור $0 = 3x + 12$, ומכאן $x = -4$. הנקודה היא $(-4, 0)$.
25. $(-1, -4)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) + -3 = -4$. הקודקוד: $(-1, -4)$.
26. שיפוע −3, חיתוך עם y ב-2 — במשוואה $y = mx + b$, השיפוע הוא $m = -3$ והחיתוך עם ציר ה-y הוא $b = 2$.
27. $(0, -2)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. נציב למציאת $y: y = 1 \cdot (0)^{2} + 0 \cdot (0) + -2 = -2$. הקודקוד: $(0, -2)$.
28. $x = -3$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = -3$.
29. $(0, 3)$ — משווים: $-2x + 3 = 3x + 3$. מכאן $-5x = 0$, אז $x = 0$. נציב: $y = -2 \cdot (0) + 3 = 3$. נקודת החיתוך: $(0, 3)$.
30. $y = -2x - 9$ — משוואת ישר: $y = mx + b$. נציב $m = -2$ ואת הנקודה: $-5 = -2 \cdot (-2) + b$, ומכאן $b = -9$. לכן המשוואה: $y = -2x - 9$.
31. $(1, -8)$ — שיעור ה-x של הקודקוד: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$. נציב למציאת $y: y = 2 \cdot (1)^{2} + -4 \cdot (1) + -6 = -8$. הקודקוד: $(1, -8)$.
32. $x = 1$ — ציר הסימטריה של פרבולה הוא הישר $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
33. $y = -3x + 4$ — תחילה השיפוע: $m = \frac{-5 - -2}{3 - 2} = -3$. נציב נקודה: $b = -2 - (-3)(2) = 4$. המשוואה: $y = -3x + 4$.
34. 2 — נציב $x = 1: f(1) = -2 \cdot (1)^{2} + 1 \cdot (1) + 3 = -2 + 1 + 3 = 2$.
35. 4 — ישרים מקבילים בעלי שיפוע זהה. שיפוע הישר הנתון הוא 4, לכן גם שיפוע הישר המקביל הוא 4.