טריגונומטריה — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $5$ — הניצב שמול הזווית הוא יתר כפול הסינוס: $10\cdot\sin 30^\circ=10\cdot\dfrac{1}{2}=5$ ס"מ.
2. $5\sqrt{3}$ — מול$=10\cdot\sin 60^\circ=10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ ס"מ.
3. $6\sqrt{2}$ — מול$=12\cdot\sin 45^\circ=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ ס"מ.
4. $14$ — הקוסינוס שווה לניצב הצמוד חלקי היתר, ולכן היתר $=\dfrac{7}{\cos 60^\circ}=\dfrac{7}{1/2}=14$ ס"מ.
5. $20$ — הגובה שווה למרחק כפול הטנגנס: $20\cdot\tan 45^\circ=20\cdot1=20$ מ'.
6. $10\sqrt{3}$ — גובה$=30\cdot\tan 30^\circ=30\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}$ מ'.
7. $5\sqrt{3}$ — הגובה הוא הניצב שמול הזווית: $10\cdot\sin 60^\circ=10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ מ'.
8. $4\sqrt{3}$ — המרחק הוא הניצב הצמוד: $8\cdot\cos 30^\circ=8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ מ'.
9. $1000\sqrt{3}$ — הטנגנס שווה לגובה חלקי המרחק האופקי, ולכן האופקי $=\dfrac{1000}{\tan 30^\circ}=1000\sqrt{3}$ מ'.
10. $19.09$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9\cdot \sin 45°=19.09$.
11. $23.38$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9\cdot \sin 60°=23.38$.
12. $27$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9\cdot \sin 90°=27$.
13. $8$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\cdot \sin 30°=8$.
14. $11.31$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\cdot \sin 45°=11.31$.
15. $13.86$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\cdot \sin 60°=13.86$.
16. $16$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4\cdot \sin 90°=16$.
17. $14$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\cdot \sin 30°=14$.
18. $19.8$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\cdot \sin 45°=19.8$.
19. $24.25$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\cdot \sin 60°=24.25$.
20. $28$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 7\cdot \sin 90°=28$.
21. $12.5$ — נוסחת השטח: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\cdot \sin 30°=12.5$.
22. $30°$ — $24=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12\cdot \sin C$, לכן $\sin C=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$ ו-$C=30°$.
23. $5$ — $25=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot b\cdot \sin 90°=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot b$, לכן $b=5$.
24. $15.59$ — $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin 60°=18\cdot 0.866=15.59$.
25. $7$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60°=49$, ולכן $c=7$.
26. $8.89$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=7^2+10^2-2\cdot 7\cdot 10\cdot \cos 60°=79$, ולכן $c=8.89$.
27. $6$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=6^2+6^2-2\cdot 6\cdot 6\cdot \cos 60°=36$, ולכן $c=6$.
28. $6.08$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4^2+7^2-2\cdot 4\cdot 7\cdot \cos 60°=37$, ולכן $c=6.08$.
29. $13$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=5^2+12^2-2\cdot 5\cdot 12\cdot \cos 90°=169$, ולכן $c=13$.
30. $10$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 90°=100$, ולכן $c=10$.
31. $15$ — לפי משפט הקוסינוסים $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=9^2+12^2-2\cdot 9\cdot 12\cdot \cos 90°=225$, ולכן $c=15$.
32. $20$ — לפי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, לכן $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot \sin 90°}{\sin 30°}=20$.
33. $13.86$ — לפי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, לכן $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot \sin 60°}{\sin 30°}=13.86$.
34. $14.7$ — לפי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, לכן $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{12\cdot \sin 60°}{\sin 45°}=14.7$.
35. $8.49$ — לפי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, לכן $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\cdot \sin 45°}{\sin 30°}=8.49$.
36. $11.43$ — לפי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, לכן $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{14\cdot \sin 45°}{\sin 60°}=11.43$.
37. $51.96$ מטר — זווית השפלה שווה לזווית ההגבהה מהנקודה התחתונה. הטנגנס הוא היחס בין הגובה למרחק: $\tan 30°=\frac{30}{51.96}$, לכן מרחק $=\frac{30}{\tan 30°}=51.96$ מטר.
38. $50$ מטר — זווית השפלה שווה לזווית ההגבהה מהנקודה התחתונה. הטנגנס הוא היחס בין הגובה למרחק: $\tan 45°=\frac{50}{50}$, לכן מרחק $=\frac{50}{\tan 45°}=50$ מטר.
39. $11.55$ מטר — זווית השפלה שווה לזווית ההגבהה מהנקודה התחתונה. הטנגנס הוא היחס בין הגובה למרחק: $\tan 60°=\frac{20}{11.55}$, לכן מרחק $=\frac{20}{\tan 60°}=11.55$ מטר.