הסתברות — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $\frac{3}{8}$ — מספר הסידורים הוא $\binom{4}{2}=6$, וכל סדרה בהסתברות $\frac{1}{16}$, ולכן $P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$.
2. $\frac{8}{15}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}+\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9}=\frac{8}{15}$.
3. $\frac{15}{28}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{5}{7}+\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{3}{7}=\frac{15}{28}$.
4. $\frac{5}{9}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{5}{9}=\frac{5}{9}$.
5. $\frac{3}{7}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{2}{8}\cdot\dfrac{6}{7}+\dfrac{6}{8}\cdot\dfrac{2}{7}=\frac{3}{7}$.
6. $\frac{8}{15}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}=\frac{8}{15}$.
7. $\frac{7}{15}$ — שני הענפים אדום→כחול וכחול→אדום: $\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\frac{7}{15}$.
8. $20$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $5\cdot4=20$.
9. $30$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $6\cdot5=30$.
10. $120$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $6\cdot5\cdot4=120$.
11. $42$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $7\cdot6=42$.
12. $336$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $8\cdot7\cdot6=336$.
13. $90$ — הסדר חשוב (מדליות שונות), ולכן מספר הסידורים הוא $10\cdot9=90$.
14. $\frac{2}{3}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
15. $\frac{3}{4}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.
16. $\frac{4}{5}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.
17. $\frac{11}{20}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20}$.
18. $\frac{5}{6}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
19. $\frac{29}{50}$ — דרך המשלים: שניהם מחטיאים בהסתברות $\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{10}=\frac{21}{50}$, ולכן לפחות פגיעה אחת: $1-\frac{21}{50}=\frac{29}{50}$.
20. $\frac{1}{6}$ — מתוך $36$ התוצאות במרחב המדגם, $6$ תוצאות מקיימות את התנאי, ולכן $P=\frac{1}{6}$.