חדו״א — כיתה י"א · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. 12x + 2 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x + 2$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
2. $3x^{2} - 2x + 1$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} - 2x + 1$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
3. 10x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 10x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
4. $12x^{3} - 16x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 12x^{3} - 16x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
5. $-6x^{2} + 12x - 3$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -6x^{2} + 12x - 3$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
6. 2x + 14 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 2x + 14$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
7. $21x^{2} - 4x$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 21x^{2} - 4x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
8. 8x — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 8x$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
9. $3x^{2} + 12x + 12$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = 3x^{2} + 12x + 12$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
10. −10x + 10 — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^{n})' = n \cdot x^{n-1}: f'(x) = -10x + 10$. נגזרת של איבר קבוע שווה 0.
11. 7 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 4x + 7$. נציב $x = 0: f'(0) = 7$.
12. 10 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 2x + 2$. נציב $x = 4: f'(4) = 10$.
13. −13 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 6x - 1$. נציב $x = -2: f'(-2) = -13$.
14. 29 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 3x^{2} + 2$. נציב $x = 3: f'(3) = 29$.
15. 2 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = -2x + 6$. נציב $x = 2: f'(2) = 2$.
16. 0 — השיפוע הוא $f'(x)$ בנקודה. $f'(x) = 10x - 10$. נציב $x = 1: f'(1) = 0$.
17. $y = -x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 1$, ובנקודה $m = -1$. ערך הפונקציה: $f(0) = 1$. משוואת המשיק: $y - 1 = -1(x - 0) ⇒ y = -x + 1$.
18. $y = 3x + 3$ — שיפוע: $f'(x) = 3x^{2}$, ובנקודה $m = 3$. ערך הפונקציה: $f(-1) = 0$. משוואת המשיק: $y - 0 = 3(x - -1) ⇒ y = 3x + 3$.
19. $y = x + 1$ — שיפוע: $f'(x) = 2x + 7$, ובנקודה $m = 1$. ערך הפונקציה: $f(-3) = -2$. משוואת המשיק: $y - -2 = 1(x - -3) ⇒ y = x + 1$.
20. $y = -1$ — שיפוע: $f'(x) = 4x - 4$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(1) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 0(x - 1) ⇒ y = -1$.
21. $y = -16$ — שיפוע: $f'(x) = 2x - 8$, ובנקודה $m = 0$. ערך הפונקציה: $f(4) = -16$. משוואת המשיק: $y - -16 = 0(x - 4) ⇒ y = -16$.
22. $y = 2x - 1$ — שיפוע: $f'(x) = 6x + 2$, ובנקודה $m = 2$. ערך הפונקציה: $f(0) = -1$. משוואת המשיק: $y - -1 = 2(x - 0) ⇒ y = 2x - 1$.
23. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 1$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -sqrt\frac{3}{3}, sqrt\frac{3}{3})$.
24. 2 — $f'(x) = 3x^{2} - 48$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -4, 4)$.
25. 2 — $f'(x) = 3x^{2} + 12x + 9$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -3, -1)$.
26. 2 — $f'(x) = 6x^{2} - 24$. מאפסים את הנגזרת — מספר הפתרונות הריאליים שבהם הנגזרת מחליפה סימן הוא 2 (נקודות $x = -2, 2)$.
27. $-\frac{12}{x}^{3}$ — נגזרת של $6x^{-2}$ היא $-12x^{-3} = -\frac{12}{x}^{3}$.
28. $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — $(x)'=1, (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}, (1)'=0$. סכום: $1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
29. $-\frac{6}{x}^{4}$ — נגזרת של $2x^{-3}$ היא $-6x^{-4} = -\frac{6}{x}^{4}$.
30. $(\frac{3}{2})\sqrt{x}$ — $x^{\frac{3}{2}}$ נגזרת: $(\frac{3}{2})x^{\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2})\sqrt{x}$.
31. $-\frac{7}{x}^{2}$ — נגזרת של $7x^{-1}$ היא $-7x^{-2} = -\frac{7}{x}^{2}$.
32. 2x + 1 — פתח: $x^{2}+x-2$, נגזרת 2x+1.
33. $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$ — $x^{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}$, נגזרת $(\frac{5}{2})x^{\frac{3}{2}}$.
34. $\frac{1}{x+1}^{2}$ — כלל המנה: $[1 \cdot (x+1) - x \cdot 1]/(x+1)^{2} = \frac{1}{x+1}^{2}$.
35. $-\frac{2}{x-1}^{2}$ — $[(1)(x-1)-(x+1)(1)]/(x-1)^{2} = \frac{x-1-x-1}{x-1}^{2} = -\frac{2}{x-1}^{2}$.
36. $-2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$ — $[0 \cdot (x^{2}+1) - 1 \cdot 2x]/(x^{2}+1)^{2} = -2\frac{x}{x^{2}+1}^{2}$.
37. $\frac{6}{x+3}^{2}$ — $[2(x+3) - 2x \cdot 1]/(x+3)^{2} = \frac{6}{x+3}^{2}$.
38. $\frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$ — $[2x(x-1) - x^{2} \cdot 1]/(x-1)^{2} = \frac{2x^{2}-2x-x^{2}}{x-1}^{2} = \frac{x^{2}-2x}{x-1}^{2}$.
39. $8(2x-1)^{3}$ — $4(2x-1)^{3}$ כפול $2 = 8(2x-1)^{3}$.
40. $\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$ — $\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}$ כפול $3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.