חזקות — כיתה י׳ · יסודות בגרות

פתרונות

1. x¹⁰ — כפל חזקות בעלות אותו בסיס: מחברים מעריכים. xᵃ·xᵇ = xᵃ⁺ᵇ, ולכן x⁴·x⁶ = x⁴⁺⁶ = x¹⁰.
2. a⁵ — חילוק חזקות בעלות אותו בסיס: מחסרים מעריכים. aᵃ÷aᵇ = aᵃ⁻ᵇ, ולכן a⁹÷a⁴ = a⁹⁻⁴ = a⁵.
3. y⁶ — y שווה ל-y¹. מחברים את כל המעריכים: 3 + 1 + 2 = 6, ולכן y⁶.
4. x⁶ — תחילה כפל: x⁷·x³ = x⁷⁺³ = x¹⁰. אחר כך חילוק: x¹⁰÷x⁴ = x¹⁰⁻⁴ = x⁶.
5. 2⁷ — אותו בסיס (2) בכפל: מחברים מעריכים בלבד, הבסיס לא משתנה. 2³·2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷.
6. a⁸b⁶ — מקבצים לפי בסיס: a⁵·a³ = a⁸ ו-b²·b⁴ = b⁶. התוצאה a⁸b⁶.
7. m³ — מחסרים מעריכים בזה אחר זה: 8 − 3 − 2 = 3, ולכן m³.
8. 1 — 5⁶÷5⁶ = 5⁶⁻⁶ = 5⁰ = 1. כל מספר (שונה מאפס) בחזקת אפס שווה 1.
9. x⁶ — כפל אותו בסיס ← חיבור מעריכים: 10 + (−4) = 6, ולכן x⁶.
10. a⁻⁷ — חילוק אותו בסיס ← חיסור מעריכים: (−2) − 5 = −7, ולכן a⁻⁷.
11. t⁴ — כפל אותו בסיס ← חיבור כל המעריכים: 2 + 5 + (−3) = 4, ולכן t⁴.
12. 3⁶ — אותו בסיס (3) בכפל: 3 הוא 3¹. מחברים מעריכים: 2 + 3 + 1 = 6, ולכן 3⁶.
13. x¹⁵ — חזקה של חזקה: מכפילים מעריכים. (xᵃ)ᵇ = xᵃ·ᵇ, ולכן (x⁵)³ = x⁵·³ = x¹⁵.
14. a⁸ — חזקה של חזקה ← מכפילים מעריכים: 4·2 = 8, ולכן a⁸. (טעות נפוצה: לחבר ולקבל a⁶).
15. x³y³ — חזקת מכפלה: (xy)ⁿ = xⁿyⁿ. כל גורם מועלה בחזקה, ולכן (xy)³ = x³y³.
16. 16x⁴ — חזקת מכפלה: (2x)⁴ = 2⁴·x⁴ = 16x⁴. גם המקדם מועלה בחזקה.
17. x³/y³ — חזקת מנה: (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ. גם המונה וגם המכנה מועלים בחזקה, ולכן x³/y³.
18. 27a⁶ — (3a²)³ = 3³·(a²)³ = 27·a⁶ = 27a⁶. המקדם בחזקה והמעריכים מוכפלים.
19. x¹²y⁸ — (x³y²)⁴ = x³·⁴·y²·⁴ = x¹²y⁸. כל מעריך מוכפל ב-4.
20. 32a¹⁵b⁵ — (2a³b)⁵ = 2⁵·a³·⁵·b¹·⁵ = 32a¹⁵b⁵.
21. x¹² — מכפילים את כל המעריכים: 2·3·2 = 12, ולכן x¹².
22. x¹⁰ — תחילה חזקה של חזקה: (x²)³ = x⁶. אחר כך כפל: x⁶·x⁴ = x⁶⁺⁴ = x¹⁰.
23. a⁸/b⁶ — חזקת מנה וחזקה של חזקה: (a⁴/b³)² = a⁴·²/b³·² = a⁸/b⁶.
24. x⁶ — (−x³)² = (−1)²·(x³)² = 1·x⁶ = x⁶. חזקה זוגית הופכת את הסימן לחיובי.
25. −8x⁶ — (−2x²)³ = (−2)³·(x²)³ = −8·x⁶ = −8x⁶. חזקה אי-זוגית שומרת על הסימן השלילי.
26. 5x²y³ — ביטוי בחזקת 2 חלקי אותו ביטוי בחזקת 1 = הביטוי בחזקת 1: 5x²y³.
27. 1 — כל מספר שונה מאפס בחזקת אפס שווה 1, ולכן 7⁰ = 1.
28. 1/8 — מעריך שלילי: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. לכן 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
29. 1/x⁵ — מעריך שלילי הופך למכנה: x⁻⁵ = 1/x⁵.
30. 9 — מעריך שלילי של שבר הופך אותו: (1/3)⁻² = (3/1)² = 3² = 9.
31. 1/5 — a⁻¹ = 1/a, ולכן 5⁻¹ = 1/5.
32. 1 — כל ביטוי שונה מאפס בחזקת אפס שווה 1, ולכן (2x)⁰ = 1.
33. 2 — החזקה חלה רק על x: x⁰ = 1, ולכן 2x⁰ = 2·1 = 2. (שונה מ-(2x)⁰).
34. 1/x⁴ — כפל אותו בסיס: 3 + (−7) = −4 ← x⁻⁴ = 1/x⁴.
35. 0.01 — 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0.01.
36. 1/x⁶ — חזקה של חזקה: (−2)·3 = −6 ← x⁻⁶ = 1/x⁶.
37. 4/9 — 3⁻² = 1/9 ו-3⁻¹ = 1/3 = 3/9. הסכום: 1/9 + 3/9 = 4/9.
38. 1/a³ — חילוק אותו בסיס: 5 − 8 = −3 ← a⁻³ = 1/a³.
39. 5/2 — מעריך −1 על שבר נותן את ההופכי: (2/5)⁻¹ = 5/2.
40. 3x³ — המקדם 3 נשאר. למעריכים: x⁻²·x⁵ = x⁻²⁺⁵ = x³. התוצאה 3x³.