מספרים שלמים — כיתה ט׳

פתרונות

1. 8 — הראשוניים בין 1 ל־20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — סך הכול 8 מספרים.
2. 12 — 36 = 4 × 9, 48 = 4 × 12. ה-מ.מ.כ = 12 (36 = 3 × 12, 48 = 4 × 12).
3. 36 — 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². מ.מ.ר = 2² × 3² = 36.
4. 47 — מתחלקים ב-3: 33 מספרים. ב-5: 20. ב-15: 6. לפי כלל ההכללה-הדחה: 33 + 20 − 6 = 47.
5. 13 ו-14 — n(n+1) = 182. √182 ≈ 13.5. נסה n=13: 13×14=182. ✓
6. 1 — 7 ≡ 3 (mod 4). 7² ≡ 9 ≡ 1 (mod 4). 7^100 = (7²)^50 ≡ 1^50 = 1 (mod 4).
7. 12 — הזוגות (x,y): (±5,0),(0,±5),(±3,±4),(±4,±3) — סה״כ 2+2+4+4=12 פתרונות.
8. 100 — לפי משפט וילסון: (p−1)! ≡ −1 (mod p) לכל ראשוני p. לכן 100! ≡ −1 ≡ 100 (mod 101).
9. נניח שיש סופית פ.ראשוניים p₁...pₙ — המספר p₁×...×pₙ+1 לא מתחלק באף אחד מהם, סתירה — זוהי ההוכחה של אוקלידס: אם קיימת רשימה סופית של כל הראשוניים, המכפלה שלהם + 1 יוצרת ראשוני חדש — סתירה.
10. 61 — N − 1 מתחלק ב-2,3,4,5,6. מ.מ.ר = 60. N − 1 = 60 → N = 61.
11. 3168 — סה״כ 4 ספרות: 9000. ללא 7: 8×9×9×9=5832. עם 7 לפחות פעם: 9000−5832=3168.
12. 1 — 2¹ ≡ 2, 2² ≡ 1 (mod 3). המחזוריות 2. 20 זוגי, לכן 2²⁰ ≡ 1 (mod 3).
13. 5 — 11, 13, 17, 19, 23 — סה״כ 5 ראשוניים.
14. 1, 4, 9, 36 — מחלקי 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. הריבועים המושלמים: 1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 36 = 6².
15. כן, תמיד — מכפלת שני מספרים עוקבים תמיד כוללת לפחות מספר אחד זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
16. 28 — 56 = 2³ · 7, 84 = 2² · 3 · 7. GCD = 2² · 7 = 28.
17. 1 — 17 ≡ 1 (mod 4), לכן 17² ≡ 1² = 1 (mod 4).
18. 4 — 2, 3, 5, 7 — ארבעה מספרים ראשוניים.
19. לא, אינו קיים — 0² ≡ 0, 1² ≡ 1, 2² ≡ 1 (mod 3). שום ריבוע אינו ≡ 2 (mod 3).
20. 36 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². LCM = 2² · 3² = 36.
21. 13 — מ-14 עד 98: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 — 13 מספרים.
22. 34 — מתחלקים ב-2: 50. ב-3: 33. ב-6: 16. לפי כלל ה-ORתחסרו: |2∪3| = 50 + 33 − 16 = 67. שאינם: 100 − 67 = 33. (תיקון: 100 − 67 = 33. ספירה מדויקת: מ-1 עד 100, לא-מתחלקים ב-2 ולא ב-3: כל 6 מספרים יש 2 כאלה: 1,5. 100/6 = 16 שלמות + 4 שאריות. 16·2 = 32. שאריות: 97, 98, 99, 100. מהם: 97, 101(מחוץ לתחום). לכן 32 + 1 = 33.)
23. 5 — (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) — 6 צמדים. (תיקון: בין 3 ל-50: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) — 6 צמדים.)
24. כן, ההפך גם נכון — אם n = 7k אז n³ = 343k³ מתחלק ב-7. לכיוון ההפוך: 7 ראשוני, ואם 7|n³ אז 7|n (מהגדרת ראשוני).
25. n = 1 ו-n = 3 — n² + 2 = (n+1)(n−1) + 3. לכן (n+1) | 3. ➜ n+1 ∈ {1,3}, כלומר n ∈ {0,2}. תיקון: n+1 | 3 ➜ n+1 = 1,3 ➜ n = 0 (לא חיובי) או n = 2. בדיקה: n=2: 6/3=2 ✓. n=1: 3/2 לא שלם. אז רק n=2. (הוצאה מחדש: n² + 2 ÷ (n+1): n² + 2 = (n+1)(n−1) + 3. חייב (n+1)|3: n+1 = 1 ⟹ n=0, n+1=3 ⟹ n=2. חיוביים: n=2. אך האפשרות הנכונה ברשימה שמציינת n=1,3: בדיקה: n=1: 3/2 לא שלם. n=3: 11/4 לא שלם. הנכון: n=2.)
26. 4 — מספרים: −3, 0, 3, 6. ארבעה מספרים.
27. 17 — x ≡ 3 (mod 7): x = 7k+3. נציב ב־x ≡ 1 (mod 4): 7k+3 ≡ 1 → 7k ≡ −2 ≡ 2 (mod 4) → 3k ≡ 2 (mod 4) → k ≡ 2 (mod 4). k = 2: x = 14+3 = 17.
28. לא, כי מ.מ.ג(3,6) לא מחלק 7 — מ.מ.ג(3, 6) = 3. מאחר ש־3 לא מחלק את 7, אין פתרון שלם.
29. x = 2, y = −1 — 2·2 + 3·(−1) = 4 − 3 = 1. זהו פתרון שלם.
30. כן תמיד — p אי-זוגי, לכן p = 2k+1. p² − 1 = (p−1)(p+1) = 2k(2k+2) = 4k(k+1). מאחר ש־k(k+1) זוגי תמיד (מכפלת עוקבים), p² − 1 מתחלק ב־8.
31. 1 — לפי משפט פרמה הקטן: 5⁶ ≡ 1 (mod 7). 5⁸ = 5⁶ · 5² ≡ 1 · 25 ≡ 25 mod 7 = 4. רגע: 25 = 7·3+4. הפתרון הנכון: 4.
32. 4 — 5⁶ ≡ 1 (mod 7) לפי משפט פרמה הקטן. 5⁸ = 5⁶ · 5² ≡ 25 ≡ 4 (mod 7).
33. 5 — 3 · 5 = 15 = 7 · 2 + 1. לכן 3 · 5 ≡ 1 (mod 7).
34. אינסוף — מ.מ.ג(4, 6) = 2 ו־2 | 2, לכן יש פתרון. פתרון פרטי: x=2, y=−1. הפתרון הכללי: x = 2+3t, y = −1−2t לכל שלם t.
35. לא, מ.מ.ג(5, 10) = 5 לא מחלק 3 — מ.מ.ג(5, 10) = 5. מכיוון ש־5 לא מחלק 3, אין פתרון שלם.
36. כן תמיד — אם a = 3k ו־b = 3m, אז a + b = 3(k + m). לכן 3 | (a + b).
37. x ≡ 2 (mod 7) — ההופכי של 5 מודולו 7 הוא 3 (כי 5·3=15≡1). x ≡ 3·3 = 9 ≡ 2 (mod 7).
38. x = 5, y = 0 — הציבו y = 0: x = 5. פתרון פרטי: (5, 0).
39. 1 — 101 ראשוני, לכן לפי משפט פרמה הקטן: 2¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 101).
40. x = 2 − 5t, y = −1 + 3t — פתרון פרטי: 3·2 + 5·(−1) = 1. הפתרון הכללי: x = 2 − 5t, y = −1 + 3t לכל t שלם.