מספרים שלמים — כיתה ט׳

פתרונות

1. 8 — הראשוניים בין 1 ל־20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 — סך הכול 8 מספרים.
2. 12 — 36 = 4 × 9, 48 = 4 × 12. ה-מ.מ.כ = 12 (36 = 3 × 12, 48 = 4 × 12).
3. 36 — 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². מ.מ.ר = 2² × 3² = 36.
4. 47 — מתחלקים ב-3: 33 מספרים. ב-5: 20. ב-15: 6. לפי כלל ההכללה-הדחה: 33 + 20 − 6 = 47.
5. 13 ו-14 — n(n+1) = 182. √182 ≈ 13.5. נסה n=13: 13×14=182. ✓
6. 1 — 7 ≡ 3 (mod 4). 7² ≡ 9 ≡ 1 (mod 4). 7^100 = (7²)^50 ≡ 1^50 = 1 (mod 4).
7. 12 — הזוגות (x,y): (±5,0),(0,±5),(±3,±4),(±4,±3) — סה״כ 2+2+4+4=12 פתרונות.
8. 100 — לפי משפט וילסון: (p−1)! ≡ −1 (mod p) לכל ראשוני p. לכן 100! ≡ −1 ≡ 100 (mod 101).
9. נניח שיש סופית פ.ראשוניים p₁...pₙ — המספר p₁×...×pₙ+1 לא מתחלק באף אחד מהם, סתירה — זוהי ההוכחה של אוקלידס: אם קיימת רשימה סופית של כל הראשוניים, המכפלה שלהם + 1 יוצרת ראשוני חדש — סתירה.
10. 61 — N − 1 מתחלק ב-2,3,4,5,6. מ.מ.ר = 60. N − 1 = 60 → N = 61.
11. 3168 — סה״כ 4 ספרות: 9000. ללא 7: 8×9×9×9=5832. עם 7 לפחות פעם: 9000−5832=3168.
12. 1 — 2¹ ≡ 2, 2² ≡ 1 (mod 3). המחזוריות 2. 20 זוגי, לכן 2²⁰ ≡ 1 (mod 3).
13. 5 — 11, 13, 17, 19, 23 — סה״כ 5 ראשוניים.
14. 1, 4, 9, 36 — מחלקי 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. הריבועים המושלמים: 1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 36 = 6².
15. כן, תמיד — מכפלת שני מספרים עוקבים תמיד כוללת לפחות מספר אחד זוגי, ולכן המכפלה זוגית.
16. 28 — 56 = 2³ · 7, 84 = 2² · 3 · 7. GCD = 2² · 7 = 28.
17. 1 — 17 ≡ 1 (mod 4), לכן 17² ≡ 1² = 1 (mod 4).
18. 4 — 2, 3, 5, 7 — ארבעה מספרים ראשוניים.
19. לא, אינו קיים — 0² ≡ 0, 1² ≡ 1, 2² ≡ 1 (mod 3). שום ריבוע אינו ≡ 2 (mod 3).
20. 36 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². LCM = 2² · 3² = 36.