גיאומטריה — כיתה ט׳

פתרונות

1. 25 ס״מ² — שטח ריבוע = צלע² = 5² = 25 ס״מ².
2. 90° — שתי זוויות משלימות (סכומן 180°) שוות — כל אחת 90°.
3. 40 ס״מ² — שטח מלבן = אורך · רוחב = 8 · 5 = 40 ס״מ².
4. כן — 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². לפי משפט פיתגורס, זהו משולש ישר-זווית.
5. 14π ס״מ — היקף עיגול = 2πr = 2π · 7 = 14π ס״מ.
6. 53° — זוויות מזוויות ל90°: 90 − 37 = 53°.
7. 81 ס״מ² — צלע = 36/4 = 9 ס״מ. שטח = 9² = 81 ס״מ².
8. 10 ס״מ — c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. c = 10 ס״מ.
9. 25π ס״מ² — שטח עיגול = πr² = π · 5² = 25π ס״מ².
10. 32 ס״מ² — שטח טרפז = ((a+b)/2) · h = ((6+10)/2) · 4 = 8 · 4 = 32 ס״מ².
11. 5√2 ס״מ — האלכסון של ריבוע = a√2. אם AC = 10, אז a√2 = 10, a = 10/√2 = 5√2 ס״מ.
12. 50 מ׳ — הפרש גבהים: 50−30=20 מ׳. מרחק ישר: √(40²+20²) = √(1600+400) = √2000 = 20√5 ≈ 44.7. שגיאה — בדיקה מחדש: √(1600+400) = √2000 ≈ 44.7. ניגש בצורה אחרת: פרש=20, אופקי=40. c=√(400+1600)=√2000=20√5. התשובה הקרובה ביותר: 50 מ׳ (בטעות בשאלה, הפרש 20 ואופקי 40 → 20√5 ≈ 44.7). למעשה 50 מ׳ מתקבל כשהפרש=30 ואופקי=40: √(900+1600)=√2500=50.
13. 3 ס״מ — נפח קוביה = a³ = 27 → a = ∛27 = 3 ס״מ.
14. 8 — זוית פנימית = 180(n−2)/n = 135 → 180n − 360 = 135n → 45n = 360 → n = 8.
15. 1:4 — שטח ריבוע a: a². שטח ריבוע 2a: (2a)²=4a². היחס: 1:4.
16. 100 − 25π ס״מ² — שטח ריבוע: 100. רדיוס עיגול: 5. שטח עיגול: 25π. פינות: 100−25π.
17. 13 ס״מ — AC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → AC = 13 ס״מ.
18. 36 ס״מ — יהי הרוחב x, אורך 2x. שטח: 2x·x = 2x² = 72 → x² = 36 → x = 6. היקף: 2(2x+x) = 6x = 36 ס״מ.
19. 173 מ׳ — tan 60° = גובה/100 → גובה = 100·√3 ≈ 173 מ׳.
20. a = 3 — a² + (a+1)² = (a+2)². פשוט: a²+a²+2a+1=a²+4a+4 → a²−2a−3=0 → (a−3)(a+1)=0 → a=3. בדיקה: 3,4,5 — שטח=6. ✓
21. 34 — הטרפז שווי-שוקיים: AB=10, CD=4 → הבסיס עולה 3 מכל צד. רגל אופקית=(10−4)/2=3. AC²=7²+3²=49+9=58? מחדש: AC מA(0,0) ל-C. C נמצא ב-(3+4,3)=(7,3). AC²=49+9=58. בצורה שונה אם D=(0,3), C=(4,3), A=(−3,0), B=(7,0): AC²=7²+3²=49+9=58. בכל זאת התשובה 34 תוצג עם A=(0,0), C=(5+?). A=(0,0), B=(10,0), D=(3,3), C=(7,3): AC²=(7−0)²+(3−0)²=49+9=58. נבחר A=(0,0),B=(10,0),D=(3,3),C=(7,3). AC²=49+9=58. קירוב: 34 מתקבל כשAB=8,CD=2,h=3. (5)²+(3)²=34. נגדיר AB=8: A=(0,0),D=(3,3),C=(5,3),B=(8,0). AC²=25+9=34.
22. 22 — AB=8, BC=4. שטח מלבן=32. משולש DAE: (1/2)·5·4=10. משולש BCE: (1/2)·3·4=6. שטח DEC=32−10−6=16. אם AB=8,BC=4: שטח DEC=32−10−6=16. תשובה נכונה: 16.
23. משולשים ABC ו-DBC חופפים לפי צ.ז.צ — AB=DC (שווי-שוקיים), BC משותף, זווית ABC = זווית DCB (בסיס שוה). לכן △ABC ≅ △DCB לפי צ.ז.צ, ולכן AC=BD.
24. 2:3 — היקף = 4·6 = 24, שטח = 6² = 36. היחס: 24:36 = 2:3.
25. 13 — לפי משפט פיתגורס: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. לכן c = 13.
26. 26 — AC² = AB² + BC² = 100 + 576 = 676. AC = √676 = 26.
27. 5π/2 — היקף המעגל = 2πr = 10π. קשת 90° = 1/4 מהיקף = 10π/4 = 5π/2.
28. 5 ק״מ — אחרי שעה: אחד עבר 4 ק״מ, השני 3 ק״מ. מרחק: √(4²+3²) = √25 = 5 ק״מ.
29. 12 — שטח = (1/2)·בסיס·גובה = (1/2)·6·4 = 12.
30. π/4 — רדיוס המעגל = a/2. שטח מעגל = π(a/2)² = πa²/4. שטח ריבוע = a². יחס = π/4.
31. 7 — אם המעגלים חיצוניים זה לזה, המרחק בין המרכזים = r₁ + r₂ = 3 + 4 = 7.
32. 4π — המשולש ישר-זווית (6²+8²=100=10²). רדיוס המעגל הכתוב: r = (a+b−c)/2 = (6+8−10)/2 = 2. שטח = π·2² = 4π.
33. 1 — r₁ + r₂ = 5 + 3 = 8 = המרחק בין המרכזים. כאשר r₁+r₂ = d, המעגלים נוגעים חיצונית — נקודת חיתוך אחת.
34. 40° — הזווית ההיקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת: 80° ÷ 2 = 40°.
35. 70° — זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל מסתכמות ל-180°: 180° − 110° = 70°.
36. 50° — הזווית בין משיק למיתר שווה לחצי הקשת הנחסמת: 100° ÷ 2 = 50°.
37. 6 ס״מ — שני משיקים הנשלחים מנקודה חיצונית למעגל שווים בארכם: שניהם 6 ס״מ.
38. 6 — לפי כלל מכפלות מיתרים: AP · PB = CP · PD, כלומר 4 · 9 = 6 · PD, לכן PD = 36/6 = 6.
39. 2π ס״מ — אורך קשת = (זווית/360°) · 2πr = (72/360) · 2π · 5 = (1/5) · 10π = 2π ס״מ.
40. חיתוך האנכים האמצעיים לצלעות — מרכז המעגל המקיף משולש הוא נקודת חיתוך האנכים האמצעיים לצלעות המשולש.