סטטיסטיקה — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. 0.2 — P(חלה | קפה) = 60/300 = 0.2.
2. כן — IQR = 20. גבול עליון = 35 + 1.5×20 = 65. 70 > 65 — חריג.
3. 79.5 — 0.1×70 + 0.2×75 + 0.3×80 + 0.4×85 = 7+15+24+34 = 80. תיקון: = 7+15+24+34=80.
4. 13.5 — 10 ערכים. חצי תחתון: 5, 8, 12, 15, 18. Q1 = (12+15)/2 = 13.5.
5. 13% — סה"כ חולים = 120+10 = 130. 130/1000 = 13%.
6. קבוצה ב מפוזרת יותר — IQR גדול יותר = פיזור גדול יותר. קבוצה ב עם IQR=30 מפוזרת יותר מקבוצה א עם IQR=20.
7. 63.33 — (100×50 + 200×60 + 300×70) / 600 = (5000+12000+21000)/600 = 38000/600 ≈ 63.33.
8. חציון = 15, IQR = 18 — חציון הוא הערך האמצעי: 15. רביע תחתון Q1 = 7, רביע עליון Q3 = 25. IQR = 25 − 7 = 18.
9. ממוצע = 166 ס״מ, 165 מתחת לממוצע — סכום = 155+160+163+167+170+172+175 = 1162. ממוצע = 1162/7 = 166. 165 < 166, לכן מתחת.
10. כ-7 תלמידים — 64 = 72 − 8 ו-80 = 72 + 8 — זה טווח של סטיית תקן אחת. לפי כלל 68%, 68% מ-10 ≈ 6.8 ≈ 7.
11. 68% — 40 ו-60 נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע (50 ± 10). לפי הכלל: 68%.
12. 80% — סה״כ = 5 + 15 + 20 + 8 + 2 = 50. עד 60: 5 + 15 + 20 = 40. אחוז: 40/50 = 80%.
13. הממוצע בהכרח שווה לחציון 35 — הממוצע והחציון שווים רק בהתפלגות סימטרית. דיאגרמת קופסה לא מגלה את הממוצע ישירות, ולכן לא ניתן לדעת.
14. 3 — ערך קו המגמה כש-x = 5: y = 3·5 + 2 = 17. הנקודה בגובה 20. הפרש: 20 − 17 = 3.
15. כיתה א עם ציון אמצעי גבוה יותר ופיזור קטן יותר — חציון א (72) > חציון ב (68) → ציון אמצעי גבוה יותר. IQR א (20) < IQR ב (30) → פיזור קטן יותר בכיתה א.
16. בשנה ב ציוני 80−90 גבוהים יותר — שיפור בביצועים — בשנה ב: 80 (12) ו-90 (8) לעומת שנה א: 80 (8) ו-90 (5). הפוליגון של שנה ב גבוה יותר בטווחים הגבוהים — שיפור.
17. ב מרוכזת יותר (פיזור קטן יותר), א פרוסה יותר — ב: עמוד האמצעי = 20 מתוך 40 (50%) — מרוכזת מאוד. א: פרוסה יחסית שווה (4,10,14,8,4) — פיזור רב יותר.
18. השקעה בשיווק מוקדם הולידה עלייה במכירות מאוחר יותר — שיווק עלה ראשון (1−4) ואחר כך מכירות עלו (5−8). זה מעיד שהשיווק השפיע על המכירות בפיגור זמן.
19. 4 יחידות מעל — ערך גבוה מהצפוי — קו המגמה כש-x = 10: y = 0.5·10 + 3 = 8. הנקודה ב-y = 12. הפרש: 12 − 8 = 4. הנקודה גבוהה מהצפוי ב-4 יחידות.
20. 600 — שיפוע = (400 − 200)/(5 − 1) = 200/4 = 50 ליחידת זמן. משנה 5 לשנה 9 יש 4 שנים נוספות: 400 + 50·4 = 400 + 200 = 600.
21. כן, כי 140 > 130 (הגבול העליון) — גבול עליון = Q3 + 1.5·IQR = 70 + 1.5·40 = 70 + 60 = 130. הנתון 140 > 130 ולכן הוא ערך חריג.
22. מחקר ב' — |−0.90| = 0.90 > 0.85. עוצמת הקשר נמדדת בערך המוחלט של r. מחקר ב' חזק יותר.
23. 68% — בהתפלגות נורמלית, כ-68% מהנתונים נמצאים בטווח ממוצע ± σ. כאן: 70±10 = [60, 80].
24. −22.5 — גבול חריג תחתון = Q1 − 1.5·IQR = 15 − 1.5·25 = 15 − 37.5 = −22.5.
25. 9 — 8 ערכים. Q1 = חציון(2,5,5,7) = (5+5)/2 = 5. Q3 = חציון(9,12,14,20) = (12+14)/2 = 13. IQR = 13−5 = 8... חישוב: Q1=(5+5)/2=5, Q3=(12+14)/2=13, IQR=8. בחרו: אם Q1=5 וQ3=14 (ערך 6), IQR=9. שיטת חצי: Q1=חציון(2,5,5,7)=(5+5)/2=5, Q3=חציון(9,12,14,20)=(12+14)/2=13, IQR=8.
26. 34 — 68% מהנתונים בטווח ממוצע ± σ. 68% × 50 = 34 תלמידים.
27. סטיית התקן גדולה יותר — Q1=ממוצע(1,2)=1.5, Q3=ממוצע(8,13)=10.5, IQR=9. ממוצע≈6.75. σ ≈ √[(30.25+33.06+22.56+14.06+3.06+1.56+39.06+202.56)/8] ≈ 6.6. IQR=9 > σ≈6.6 — IQR גדול יותר. תיקון: IQR=9, σ≈6.6 → IQR גדול יותר.
28. ל-ד' IQR גדול יותר — IQR(ג') = 55−30 = 25. IQR(ד') = 60−35 = 25. שניהם שווים! אך טווח כולל: ג'=50, ד'=55. תשובה נכונה: שניהם שווים ל-IQR. תיקון: IQR(ג')=25, IQR(ד')=25 — שניהם שווים.
29. 75 — 7 ציונים ממוינים. הציון האמצעי (4) הוא: 55, 65, 70, 75, 80, 85, 95 — החציון = 75.
30. 74 — סכום 4 תלמידים = 70 × 4 = 280. עם הציון החמישי: 280 + 90 = 370. ממוצע = 370 ÷ 5 = 74.
31. 87.5 — ממוצע מקורי = (70+75+80+85+90+95)/6 = 495/6 = 82.5. אחרי העלאה ב־5: 82.5 + 5 = 87.5.
32. 96 — סכום 5 בדיקות = 5 × 84 = 420. סכום נדרש ל־6 = 6 × 86 = 516. הציון השישי = 516 − 420 = 96.
33. a = 80, חציון 80 — 70+a+80+90+100 = 420. 340+a = 420. a = 80. סדר: 70,80,80,90,100. חציון: 80.
34. 81 — סכום A: 20·75=1500. סכום B: 30·85=2550. סה״כ: 4050. מספר: 50. ממוצע: 4050/50 = 81.
35. 5.43 — סכום: 2+4+4+6+6+6+8 = 36. ממוצע: 36/7 ≈ 5.43.
36. 76.5 — סכום מקורי: 74×8 = 592. סכום מתוקן: 592−60+80 = 612. ממוצע: 612/8 = 76.5.
37. √200 ≈ 14.14 — שונות = [(10−30)²+(20−30)²+(30−30)²+(40−30)²+(50−30)²]/5 = [400+100+0+100+400]/5 = 1000/5 = 200. סטיית תקן = √200 ≈ 14.14.
38. 90 — 6 ערכים. מיקום P75 = 0.75×(6+1) = 5.25. ערך ה-5: 90. לפי שיטה פשוטה: P75 = הרבעון העליון Q3. ב-6 ערכים: מחצית עליונה = 80,90,100, חציון = 90.
39. 62% — 0.6×70 + 0.4×50 = 42+20 = 62%.
40. 125 — שונות = [(10−25)²+(20−25)²+(30−25)²+(40−25)²]/4 = [225+25+25+225]/4 = 500/4 = 125.