מבחנים מיוחדים — כיתה כיתה ח׳

פתרונות:

1. 7 — נפרק לגורמים: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0. הפתרונות הם x = 3 ו-x = 4, וסכומם 3 + 4 = 7. לפי כלל וייטה, סכום שורשי x² + bx + c = 0 שווה −b; כאן −(−7) = 7.
2. 12 — חברו את שתי המשוואות: 3x = 12 → x = 4. ממשוואה 1: y = 7 − 4 = 3. בדיקה: 2·4 − 3 = 5 ✓. לכן x × y = 4 × 3 = 12.
3. 2 — פתרונות x: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → x ∈ {2, 3}. פתרונות y: y² − 7y + 10 = (y − 2)(y − 5) = 0 → y ∈ {2, 5}. כל הצירופים (x, y): (2,2), (2,5), (3,2), (3,5). מהם עם x < y: (2,5) ✓ ו-(3,5) ✓. סה״כ 2 זוגות.
4. 5 — נפתור n² − 14n + 40 = 0: (n − 4)(n − 10) = 0 → n = 4 או n = 10. הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן הביטוי שלילי בין השורשים: 4 < n < 10. המספרים השלמים בתחום זה הם: 5, 6, 7, 8, 9 — בסך הכל 5 ערכים.
5. 27 ס״מ² — יהי רוחב = w, אורך = 3w. שטח מקורי = 3w². שטח חדש = (3w + 2)(w + 2) = 3w² + 6w + 2w + 4 = 3w² + 8w + 4. הפרש: 8w + 4 = 28 → 8w = 24 → w = 3. שטח מקורי = 3 × 3² = 27 ס״מ². בדיקה: שטח חדש = (11)(5) = 55. הפרש = 55 − 27 = 28 ✓.
6. 85° — זווית C = 180° − 50° − 70° = 60°. AD חוצה את זווית A, לכן זווית BAD = 25°. במשולש ABD: זווית ADB = 180° − 70° − 25° = 85°.
7. MB ∥ ND ו-MB = ND — ב-ABCD מקבילית: AB ∥ CD ו-AB = CD. M אמצע AB לכן MB = AB/2; N אמצע CD לכן ND = CD/2. לכן MB = ND. כמו כן MB ∥ ND (כי AB ∥ CD). זוג צלעות שוות ומקבילות → MBND מקבילית.
8. 25:9 — משולשי ABE ו-DCE דומים (זוויות מתחלפות בין קווים מקבילים). יחס הדמיון = AB/DC = 10/6 = 5/3. יחס השטחים = (5/3)² = 25/9.
9. ז.ז.ז — שלוש זוויות שוות — △ABC שווה-שוקיים (AB = AC), לכן זווית ABC = זווית ACB = β. BD = AB לכן △ABD שווה-שוקיים, וזווית BAD = זווית BDA = (180° − β)/2. זווית ABD = β (משותפת לשני המשולשים בצורה מסוימת). ניתן להראות ששתי זוויות ב-△ABD שוות לשתי זוויות ב-△CAB, לכן שלוש זוויות שוות — משולשים דומים לפי ז.ז.ז.
10. 40 ס״מ — אלכסוני מעוין חוצים זה את זה בניצב. חצי אלכסונים: AC/2 = 6, BD/2 = 8. כל צלע = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 ס״מ. היקף = 4 × 10 = 40 ס״מ.
11. 10 — מספרים בצורה ab0 עם ספרת האחדות 0: a+b+0 = a+b מתחלק ב-9 → a+b = 9 או a+b = 18. כאשר a+b = 9: (a,b) = (1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0) → 9 מספרים. כאשר a+b = 18: a=9, b=9 → 990 → 1 מספר. סה״כ 10 מספרים.
12. 1 — חזקות 2 מודולו 7: 2¹ ≡ 2, 2² ≡ 4, 2³ ≡ 1 (mod 7) — מחזור באורך 3. 2025 = 3 × 675, לכן 2²⁰²⁵ = (2³)⁶⁷⁵ ≡ 1⁶⁷⁵ = 1 (mod 7). שארית = 1.
13. 63 — נסמן ab̄ = 10a + b ו-b̄a̅ = 10b + a. המשוואה: 4(10a + b) = 7(10b + a) → 40a + 4b = 70b + 7a → 33a = 66b → a = 2b. עם ספרות: b=1→a=2, ab̄=21; b=3→a=6, ab̄=63. בדיקה 63: 63×4=252, 36×7=252 ✓. בדיקה 21: 21×4=84, 12×7=84 ✓. שתיהן פתרונות, אך 63 בין האפשרויות.
14. 12 — 360 = 2³ × 3² × 5. מספר המחלקים: (3+1)(2+1)(1+1) = 24. מכיוון ש-360 אינו מרובע שלם (√360 ≈ 18.97 — לא שלם), אין זוג עם a = b. לכן מספר הזוגות עם a < b הוא 24 ÷ 2 = 12.
15. √52 — C = ((1+7)/2, (2+10)/2) = (4, 6). מרחק מהראשית: √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52.
16. 1 — שיפוע: m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2. משוואת הקו: y − 3 = 2(x − 2) → y = 2x − 1. חיתוך עם ציר y (x = 0): y = −1. נקודה: (0, −1). מרחק מהראשית: √(0² + 1²) = 1.
17. 60 מ״ר — לפי פיתגורס: הצלע השנייה = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 מ׳. שטח = 5 × 12 = 60 מ״ר.
18. 8 — בסיס AB = 6. הגובה מ-C אל AB הוא h (כיוון ש-C ב-x = 3 שהוא מרכז AB). שטח = (1/2) × 6 × h = 3h = 24 → h = 8.
19. 123 — כל איבר הוא סכום שני הקודמים לו (כמו פיבונאצ׳י). נמשיך: a₇ = 18 + 29 = 47, a₈ = 29 + 47 = 76, a₉ = 47 + 76 = 123.
20. 190 — ההפרש: d = (a₅ − a₂) / (5 − 2) = 12/3 = 4. a₁ = a₂ − d = 5 − 4 = 1. a₁₀ = a₁ + 9d = 1 + 36 = 37. S₁₀ = (10/2)(a₁ + a₁₀) = 5 × (1 + 37) = 5 × 38 = 190. בדיקה: a₁=1, a₂=5, a₃=9, a₄=13, a₅=17 ✓.
21. 18 — a₅ = a₁ × q⁴ → 162 = 2 × q⁴ → q⁴ = 81 → q = 3. a₃ = a₁ × q² = 2 × 9 = 18.
22. 0 — a ★ b = a² − 2ab + b² = (a − b)². לכן 5 ★ 3 = (5 − 3)² = 4 ו-3 ★ 5 = (3 − 5)² = (−2)² = 4. ההפרש = 4 − 4 = 0.
23. n² + n = n(n+1) — מכפלת שני מספרים עוקבים, אחד מהם תמיד זוגי — n² + n = n(n+1). n ו-(n+1) הם מספרים עוקבים — אחד מהם בהכרח זוגי. מכפלה של מספר זוגי בכל מספר היא זוגית. לכן n(n+1) זוגי לכל מספר שלם n.
24. 68 — נשתמש בזהות: (a + b)² = a² + 2ab + b². לכן a² + b² = (a + b)² − 2ab = 10² − 2 × 16 = 100 − 32 = 68.
25. הממוצע ירד, החציון לא ישתנה — ממוצע מקורי = 505/7 ≈ 72.1. ממוצע חדש = (505 − 100 + 85)/7 = 490/7 = 70. הממוצע ירד. החציון = הערך ה-4 מתוך 7 (ממוין): 55,60,65,70,75,80,100 → חציון = 70. לאחר תיקון: 55,60,65,70,75,80,85 → חציון עדיין = 70. לא השתנה.
26. לכיתה א׳ סטיית תקן קטנה יותר — סטיית תקן מודדת את הפיזור סביב הממוצע. כיתה א׳ מרוכזת בטווח צר (10 נקודות), כיתה ב׳ נפרשת על טווח רחב (60 נקודות). טווח גדול יותר = פיזור גדול יותר = סטיית תקן גדולה יותר. לכן לכיתה א׳ סטיית תקן קטנה יותר.
27. 92 — סכום 5 ציונים = 5 × 80 = 400. סכום 6 ציונים = 6 × 82 = 492. ציון התלמיד השישי = 492 − 400 = 92.
28. 9/25 — מכיוון שהכדור הוחזר, השליפות בלתי-תלויות. P(כחול) = 6/10 = 3/5 בכל שליפה. P(שניהם כחולים) = 3/5 × 3/5 = 9/25.
29. 55 — דנה קבועה בוועדה — בוחרים עוד 2 מתוך 11 הנותרים. C(11, 2) = (11 × 10) / (2 × 1) = 55.
30. 4 — יהי x = שאלות נכונות. שגויות = 6 − x. 4x − 2(6 − x) = 12 → 4x − 12 + 2x = 12 → 6x = 24 → x = 4. בדיקה: 4 × 4 − 2 × 2 = 16 − 4 = 12 ✓.
31. 28 — לפי וייטה: r + s = 6 ו-r·s = 4. נשתמש בזהות r² + s² = (r + s)² − 2rs = 36 − 8 = 28.
32. 4 — לפי וייטה r + s = 10 ו-rs = 21. נשתמש בזהות (r − s)² = (r + s)² − 4rs = 100 − 84 = 16, ולכן |r − s| = 4.
33. 39 — מכפלת השורשים = 18 וסכומם = k. זוגות שלמים חיוביים שמכפלתם 18: (1,18) → k=19; (2,9) → k=11; (3,6) → k=9. סכום הערכים: 19 + 11 + 9 = 39.
34. 152 — וייטה: r + s = 8, rs = 15. זהות: r³ + s³ = (r + s)³ − 3rs(r + s) = 512 − 3·15·8 = 512 − 360 = 152.
35. −2/3 — שורשי המשוואה השנייה: 2 ו-3. ההפכיים: 1/2 ו-1/3. סכומם 5/6 ומכפלתם 1/6. לפי וייטה b = −5/6 ו-c = 1/6, ולכן b + c = −5/6 + 1/6 = −4/6 = −2/3.
36. 54 — יחס השטחים שווה לריבוע יחס הצלעות: (3/2)² = 9/4. לכן שטח המשולש הגדול הוא 24 · 9/4 = 54 סמ״ר.
37. 60/13 — שטח המשולש = (5·12)/2 = 30. אם h הגובה ליתר, אז 30 = (13·h)/2, ולכן h = 60/13.
38. 50 — יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: 25/15 = 5/3. יחס השטחים הוא (5/3)² = 25/9. שטח הגדול = 18 · 25/9 = 50.
39. 6 — משפט הגובה ליתר במשולש ישר-זווית: AD² = BD · DC. לכן AD² = 4 · 9 = 36, ו-AD = 6. (משולשי ABD ו-ACD דומים זה לזה ולמשולש ABC, ומכאן הזהות.)
40. 7:5 — יחס שטחים שווה לריבוע יחס הצלעות: אם k יחס הצלעות, אז k² = 49/25, ולכן k = 7/5. היחס הוא 7:5.