מבחנים מיוחדים — כיתה ח׳ (בינוני)

פתרונות

1. 7 — נפרק לגורמים: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) = 0. הפתרונות הם x = 3 ו-x = 4, וסכומם 3 + 4 = 7. לפי כלל וייטה, סכום שורשי x² + bx + c = 0 שווה −b; כאן −(−7) = 7.
2. 8 — בסיס AB = 6. הגובה מ-C אל AB הוא h (כיוון ש-C ב-x = 3 שהוא מרכז AB). שטח = (1/2) × 6 × h = 3h = 24 → h = 8.
3. 92 — סכום 5 ציונים = 5 × 80 = 400. סכום 6 ציונים = 6 × 82 = 492. ציון התלמיד השישי = 492 − 400 = 92.
4. 9 — (3²)³ = 3⁶. בחילוק חזקות מחסרים מעריכים: 3⁶⁻⁴ = 3² = 9.
5. 9/4 — חזקה שלילית של שבר היא הופך השבר בחזקה החיובית: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
6. 5√2 — 50 = 25·2, ולכן √50 = √25·√2 = 5√2.
7. 6 — √12·√3 = √36 = 6.
8. 4x² − 9 — הפרש ריבועים: (2x)² − 3² = 4x² − 9.
9. (x+4)² — זהו ריבוע סכום: x² + 2·4·x + 4² = (x+4)².
10. 0 ו-6 — מוציאים x: x(x−6) = 0 → x=0 או x=6.
11. x=5,−1 — פירוק: (x−5)(x+1) = 0 → x=5 או x=−1.
12. 3 — מציבים y=2x במשוואה: x + 2x = 9 → 3x = 9 → x = 3.
13. −3<x<3 — |x|<3 פירושו x נמצא במרחק קטן מ-3 מאפס: −3 < x < 3.
14. 3 — m = (11−2)/(4−1) = 9/3 = 3.
15. (3,2) — בצורה y = (x−p)² + q, הקודקוד הוא (p, q) = (3, 2).
16. 21 — k = y/x = 12/4 = 3. y = 3·7 = 21.
17. 20 — k = xy = 2·10 = 20.
18. 12 — b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → b = 12. שלשה 5,12,13.
19. כן — 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². זוהי שלשה פיתגורית.
20. 15 — ביחס דמיון 1:3 הצלעות גדולות פי 3: 5·3 = 15.
21. 2:3 — יחס היקפים = יחס דמיון = 18:27 = 2:3.
22. 5 — d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5.
23. (5,7) — אמצע = ((2+8)/2, (4+10)/2) = (5, 7).
24. 90π — V = πr²h = π·9·10 = 90π.
25. 1/8 — P = (1/2)³ = 1/8.
26. 0.8 — P(כישלון) = 1 − 0.2 = 0.8.
27. 8 — מספר זוגי של ערכים: ממוצע שני האמצעיים (7,9) = 8.
28. 18 — טווח = מקסימום − מינימום = 30 − 12 = 18.
29. 5 — מחבר שתי המשוואות: (2x+y)+(x−y)=14+1 → 3x=15 → x=5.
30. 15.44 מ״ר — שטח חדר = 4×7 = 28 מ״ר. רדיוס שטיח = 2 מ׳. שטח שטיח = π×2² = 3.14×4 = 12.56 מ״ר. רצפה חשופה = 28−12.56 = 15.44 מ״ר.
31. 1,800 ₪ — סך השקעה = 20,000 ₪. רווח כולל = 15% × 20,000 = 3,000 ₪. חלקו של השותף הראשון = 12,000/20,000 × 3,000 = 0.6 × 3,000 = 1,800 ₪.
32. 2 — השווה: 2x−4 = −x+5 → 3x = 9 → x = 3. y = 2×3−4 = 2.
33. 10 — נפח קונוס = (1/3)πr²h = (1/3)×3.14×9×12 = (1/3)×3.14×108 = 113.04 ≈ 113 ס״מ³. מספר קונוסים = 1130 ÷ 113 = 10.
34. (1/3, 0) — ישרים מקבילים חולקים אותו שיפוע: m = 3. הצב נקודה (2,5): 5 = 3×2 + b → b = 5−6 = −1. משוואת הישר: y = 3x−1. חיתוך עם ציר x: y=0 → 0=3x−1 → x=1/3. נקודת חיתוך: (1/3, 0).
35. 3 — תלמידי ספורט = 40% × 30 = 12. תלמידים ששרים וגם ספורט = 25% × 12 = 3.
36. 18 מ״ר — גינה פנימית: (8−2) × (5−2) = 6 × 3 = 18 מ״ר.
37. 12 שניות — הקבוצה הראשונה חוזרת כל 12 שניות, השנייה כל 6 שניות. מ״כ(12, 6) = 12. לאחר 12 שניות שתיהן בפינה ההתחלה.
38. 90 — סכום כולל = 8×82 = 656. סכום שיצאו = 62+68+76 = 206. סכום נותרים = 656−206 = 450. ממוצע חדש = 450÷5 = 90.
39. 15 ק״מ — שתי הספינות נעות באותה מהירות לאותו כיוון — המרחק האופקי ביניהן נשמר. המרחק הנוצרי הוא 15 ק״מ (ההפרש הצפוני הקבוע).
40. 30 ס״מ² — ניצב ארוך = √(13²−5²) = √(169−25) = √144 = 12 ס״מ. שטח = (5×12)/2 = 30 ס״מ².