חזרה למבחן — כיתה ז׳

פתרונות

1. חלק מהאנשים בחדר הן נשים — אם חלק מהרופאים הם נשים, וכולם בחדר הם רופאים — אז חלק מהאנשים בחדר הן נשים.
2. אף A אינו C — אם כל A הם B, ואף B אינו C — אז אף A אינו C (כי A מוכלים ב-B, וB נפרדים מ-C).
3. C בלבד — A לא יכול לומר שהוא תמיד שקרן (פרדוקס), אז A שקרן. B אמר ש-A דובר אמת — שקר, אז B שקרן. C אמר ש-B שקרן — אמת! C דובר אמת.
4. רק תפוחים — כל התוויות שגויות. הקופסה עם 'תפוחים ותפוזים' אינה מכילה שניהם. שלפת תפוח — אז יש שם רק תפוחים (כי אם היה תפוז, הקופסה היתה מכילה שניהם, וזה לא יתכן כי התווית שגויה).
5. רון — אם אנו ביום שישי, אז רון שאמר שישי הוא הצודק. דן ויוסי טועים.
6. גיל — אם אלי אומר אמת — בועז שקרן (כי בועז אמר שאלי שקרן). אז גיל שאמר שבועז אומר אמת — טועה. סתירה. אם אלי שקרן — בועז צודק. גיל אמר שבועז אומר אמת — גיל גם צודק. אז גיל ובועז אומרים אמת — סתירה (רק אחד). אם בועז לסירוגין — אז גיל יכול לאמת. בניתוח מלא: גיל הוא האמת המוחלטת.
7. 51 — במעגל של 100 אנשים, ממול לאיש מספר k עומד k + 50 (אם k ≤ 50) או k − 50 (אם k > 50). ממול ל-1: 1 + 50 = 51.
8. אמיתי — כלבים הם יונקים — זה עובדה מדעית. המשפט אמיתי.
9. שקרי — 2 + 2 = 4, לא 5. המשפט שקרי.
10. שקרי — בפעולת AND, התוצאה אמיתית רק אם שני האיברים אמיתיים. כיוון ש־Q שקרי, התוצאה שקרית.
11. שקרי — בפעולת OR, התוצאה שקרית רק אם שני האיברים שקריים. כאן שניהם שקריים, לכן התוצאה שקרית.
12. שקרי — NOT הופך את ערך האמת: NOT אמיתי = שקרי.
13. אמיתי — בפעולת OR, מספיק שאחד האיברים יהיה אמיתי. Q אמיתי, לכן התוצאה אמיתית.
14. אמיתי — AND אמיתי רק אם שניהם אמיתיים. כאן שניהם אמיתיים — התוצאה אמיתית.
15. כן — למשל 102 הוא מספר זוגי הגדול מ־100. המשפט נכון.
16. לא — 6 הוא מספר זוגי שאינו מתחלק ב־4. לכן המשפט שקרי.
17. 15 — לפי עקרון הכלה־הדחה: 10 + 8 − 3 = 15.
18. {4, 6} — החלק המשותף כולל רק את האיברים שמופיעים בשתי הקבוצות: 4 ו־6.
19. דן לומד מתמטיקה — זוהי מסקנה לוגית: כל ילד יסודי לומד מתמטיקה, דן יסודי — לכן דן לומד מתמטיקה (סילוגיזם).
20. הכביש רטוב — הכלל: אם גשם → כביש רטוב. יש גשם → הכביש רטוב. (Modus Ponens)
21. לפחות מקרה אחד מקיים את התנאי — הכמת הקיומי (∃) אומר שיש לפחות מקרה אחד שמקיים את התנאי.
22. כל x בלי יוצא מן הכלל מקיים את התנאי — הכמת הכללי (∀) אומר שהטענה מתקיימת לכל x, ללא יוצא מן הכלל.
23. A ו־3 — מהפכים את A כדי לבדוק אם מאחוריה מספר זוגי. מהפכים את 3 כדי לבדוק אם מאחוריה עיצור (שיפר את הכלל). B וגם 2 אינן קריטיות לאימות הכלל.
24. שקרי — NOT P = אמיתי, ואז NOT(NOT P) = NOT(אמיתי) = שקרי. כפל שלילה מחזיר לערך המקורי.
25. 12 — מוסיקה בלבד = סה"כ מוסיקה פחות אלה שלומדים גם אמנות = 18 − 6 = 12.
26. אמיתי — 6 = 2 · 3. כל מכפל של 6 מתחלק גם ב־2. המשפט אמיתי.
27. שקרי — NOT P = שקרי (כי P = אמיתי). שקרי OR שקרי = שקרי.
28. אמיתי — P AND Q = שקרי (שניהם שקריים). NOT שקרי = אמיתי.
29. 5 — אוהבים לפחות אחד: 20 + 15 − 5 = 30. לא אוהבים אף אחד: 35 − 30 = 5.
30. כן, ארז דובר אמת — יוסי לא אמר שהוא שקרן — יוסי תמיד משקר. שקרן לא יאמר 'אני שקרן' (כי זה יהיה אמת). לכן יוסי לא אמר שהוא שקרן — וארז, שאומר אמת, מדווח נכון.
31. הכיסא אינו אדום — אדם אומר אמת — הכיסא אדום. בית תמיד משקר, ולכן אמר ההפך: הכיסא אינו אדום.
32. אלון, ברק, גל — אלון לפני ברק: א < ב. גל אחרי ברק: ב < ג. הסדר: אלון, ברק, גל.
33. A, B, C, D — B מימין ל־A: ...A, B... ; C שמאל ל־D: ...C, D... . הסדר הנובע: A, B, C, D.
34. אמיתי — P AND Q = אמיתי (שניהם אמיתיים). אמיתי OR שקרי = אמיתי.
35. אמיתי — Q AND R = אמיתי. שקרי OR אמיתי = אמיתי.
36. ד, ה, ז, ו — ד < ה (ד לפני ה), ה < ז (ה לפני ז), ז < ו (ו אחרי ז). הסדר: ד, ה, ז, ו.
37. A, B, E, C, D — A > B (A מעל B). D > C (C מתחת ל־D). E בין B ל־C: B > E > C. סדר כולל מלמעלה: A, B, E, C, D.
38. קיימת ציפור שאינה יודעת לעוף — שלילת 'לכל x, P(x)' היא 'קיים x כך ש־NOT P(x)'. כלומר, קיימת ציפור שאינה יודעת לעוף (כמו פינגווין).
39. כל המספרים השליליים — ריבועם אינו שלילי — שלילת 'קיים x כך ש־P(x)' היא 'לכל x, NOT P(x)'. לכל מספר שלילי, ריבועו חיובי (לא שלילי).
40. P → R אמיתי — זהו חוק הסילוגיזם ההיפותטי: אם P → Q ו־Q → R, אז P → R. (transitive property of implication)