מספרים שלמים — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. 38 — חזקה: (־3)² = 9. כפלים: 9 · 2 = 18, ו־4 · (־5) = ־20. סיכום: 18 ־ (־20) = 18 + 20 = 38.
2. 13 — חלוקה: (־24) : (־6) = 4. חזקה: (־3)² = 9. סיכום: 4 + 9 = 13.
3. 28 — סוגריים: (־3) + 7 = 4. כפלים: 2 · 4 = 8, ו־(־4) · 5 = ־20. סיכום: 8 ־ (־20) = 28.
4. ־17 — (־2)³ = ־8, ו־(־3)² = 9. אחר כך ־8 ־ 9 = ־17.
5. 4 — סוגריים: (־4)² = 16, ו־16 ־ 20 = ־4. אחר כך (־4) : (־1) = 4.
6. ־17° — ירידה כוללת: 3 · 4 = 12 מעלות. הטמפרטורה החדשה: ־5 ־ 12 = ־17°.
7. ־130 ש״ח — מבטאים כסכום: ־120 + 50 ־ 2 · 30 = ־120 + 50 ־ 60 = ־130 ש״ח.
8. −1 — סוגריים פנימיים: (־2)·3 = ־6, ואז ־6 + 4 = ־2. חזקה: (־2)² = 4. סיכום: 4 ־ 5 = ־1.
9. −21 — סוגריים פנימיים: 5 ־ 8 = ־3, ו־(־2)² = 4. סוגריים חיצוניים: 4 ־ (־3) = 7. ואז (־3) · 7 = ־21.
10. 21 — חלוקה: (־36) : (־4) = 9. חזקה: (־2)³ = ־8. סוגריים וחזקה: (3 ־ 5)² = (־2)² = 4. סיכום: 9 ־ (־8) + 4 = 9 + 8 + 4 = 21.
11. −2, −1, 0, 1, 2 — |x| < 3 שקול ל־−3 < x < 3. השלמים: −2, −1, 0, 1, 2.
12. x=5 או x=−1 — 2x − 4 = 6 → 2x = 10 → x = 5; או 2x − 4 = −6 → 2x = −2 → x = −1.
13. 9 — |x| ≤ 4 שקול ל־−4 ≤ x ≤ 4. השלמים: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — סה"כ 9.
14. −8 — כדי למזער a − b נבחר a = −6 ו־b = 2: a − b = −6 − 2 = −8.
15. x=−1 — המשוואה מתקיימת כאשר x + 4 = x − 2 (חוסר פתרון) או x + 4 = −(x − 2). מהמקרה השני: x + 4 = −x + 2 → 2x = −2 → x = −1.
16. −7 — |−3|² = 9, |−4|² = 16. 9 − 16 = −7.
17. −|7|, −|−5|, |0|, |−3| — הערכים: −|7| = −7, |−3| = 3, −|−5| = −5, |0| = 0. מהקטן לגדול: −7 < −5 < 0 < 3.
18. x=4 או x=−4 — |3x| = 12 → 3x = 12 או 3x = −12 → x = 4 או x = −4.
19. 450 ש"ח — בינואר: |−300| = 300. במרץ: |150| = 150. השינוי = 300 + 150 = 450 ש"ח (הוא עבר מרחק כולל של 450).
20. 6 — |x| = 1: x = ±1; |x| = 2: x = ±2; |x| = 3: x = ±3. סה"כ 6 ערכים.
21. x=1 — מקרה 1: x − 3 = x + 1 → −3 = 1 (בלתי אפשרי). מקרה 2: x − 3 = −(x + 1) → x − 3 = −x − 1 → 2x = 2 → x = 1.
22. לא בהכרח — דוגמה: a = −5, b = 3. |a| = 5 > |b| = 3, אך a = −5 < b = 3.
23. −2 ≤ x ≤ 2 — כאשר −2 ≤ x ≤ 2: |x−2| = 2−x ו־|x+2| = x+2. הסכום: (2−x) + (x+2) = 4. ✓ תמיד. מחוץ לתחום הסכום > 4.
24. x ≤ 0 — |x+1| < |x−3| שקול ל: x קרוב יותר ל־−1 מאשר ל־3. נקודת האמצע בין −1 ל־3 היא 1. לכן התנאי מתקיים כאשר x < 1. מבין השלמים: x ≤ 0.
25. 0 — (−2)³ = −8. (−3)² = 9. (−1)⁴ = 1. −8 + 9 − 1 = 0.
26. 15° — שינוי = |−12 − 3| = |−15| = 15 מעלות.
27. −7 — (−2)³ = −8. (−3)² = 9. |−10| = 10. −8 − 9 + 10 = −7.
28. −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 — |x − 3| < 4 פירושו −4 < x − 3 < 4, ולכן −1 < x < 7. המספרים השלמים: −1+1 עד 6, כלומר 0,1,...,6 אינם בלבד — בגבולות −4 < x−3 < 4 כלומר −1 < x < 7, והמספרים השלמים הם 0,1,2,3,4,5,6. שגיאה — נבדוק שוב: x > −1 וגם x < 7, שלמים: 0,1,2,3,4,5,6 בלבד. אולם אם x = −1: |−1−3| = |−4| = 4 שאינו קטן מ-4. לכן הפתרון הנכון הוא 0 עד 6.
29. 12 — (−3)² = 9. (−2)³ = −8. 9 · (−8) = −72. (−72) ÷ (−6) = 12.
30. −21 — a³ = (−2)³ = −8. b² = 9. a · b = (−2) · 3 = −6. −8 − 9 + (−6) = −23. שגיאה — נחשב מחדש: −8 − 9 − 6 = −23.
31. −5 — a² = 4. b = 3. a · b = −6. 4 − 3 + (−6) = 4 − 3 − 6 = −5.
32. −10 — (x + 4) · (−3) = 18. x + 4 = 18 ÷ (−3) = −6. x = −6 − 4 = −10.
33. 10 — פנימי: −1 + 4 = 3. ואז: 3 · 2 = 6. הסוגריים המרובעים: 3 − 6 = −3. לבסוף: −2 · (−3) = 6. שגיאה — נחשב שוב: −2 · [3 − 6] = −2 · (−3) = 6.
34. −12 מ׳ — בכל שעה: −3 + 1 = −2 מ׳. אחרי 6 שעות: 6 · (−2) = −12 מ׳.
35. כן תמיד — |(−a)| = |−a| = |a| לכל מספר, כי הערך המוחלט אינו תלוי בסימן.
36. x = 5 או x = −5 — −|x| = −5, לכן |x| = 5. הפתרון: x = 5 או x = −5.
37. 1 — (−1)¹⁰⁰ — חזקה זוגית של (−1) — נותן 1.
38. 7 — x − y = −3 − (−4) = 1. x + y = −3 + (−4) = −7. 1 · (−7) = −7.
39. −14 — (−3)² = 9, (−5)² = 25. 4 · 9 = 36. 2 · 25 = 50. 36 − 50 = −14.
40. −3 — −2x − 3 = −x − 6. −2x + x = −6 + 3. −x = −3. x = 3. בדיקה: (−2)(3) − 3 = −9, −(3+6) = −9. נכון.