שברים — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. 200 ₪ — מחיר אחרי הנחה = 80% מהמקורי. 160 = 0.8 × מקורי. מקורי = 160 ÷ 0.8 = 200 ₪.
2. 2/3 — 3/7 × 14/9 = 42/63 = 2/3. (מצמצמים: 42÷21 = 2, 63÷21 = 3).
3. 20% — עלייה = 84 - 70 = 14. אחוז = (14/70) × 100 = 20%.
4. 15 — x = 3k, y = 5k. 3k + 5k = 40. 8k = 40. k = 5. x = 3 × 5 = 15.
5. 11/20 — 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. 11/12 × 3/5 = 33/60 = 11/20.
6. 91% — אחרי ירידה: 70%. אחרי עלייה של 30%: 70% × 1.3 = 91%.
7. 4 — 5⅓ = 16/3, 1⅓ = 4/3. 16/3 ÷ 4/3 = 16/3 × 3/4 = 48/12 = 4.
8. 80 ₪ — שילם ⅔ × 120 = 80 ₪.
9. 31/24 — מכנה משותף = 24. 7/8 = 21/24, 5/12 = 10/24. 21/24 + 10/24 = 31/24.
10. 17:13 — זכרים = 18, נקבות = 12. אחרי עזיבת זכר: 17 ו-12... רגע - סה"כ עדיין 29. זכרים=17, נקבות=12. יחס = 17:12.
11. 100 ₪ — 125% × מקורי = 125. מקורי = 125 ÷ 1.25 = 100 ₪.
12. 29/35 — מכנה משותף = 35. 3/7=15/35, 2/5=14/35. 15+14=29. = 29/35.
13. 200 דונם — סה"כ חלקים = 10. חלק אחד = 40. חלק גדול = 5 × 40 = 200 דונם.
14. 37/30 ק״מ — מכנה משותף = 30. 1/3=10/30, 2/5=12/30, 1/2=15/30. 10+12+15=37. = 37/30.
15. 75% — (45/60) × 100 = 0.75 × 100 = 75%.
16. 6 — 4/5 ÷ 2/15 = 4/5 × 15/2 = 60/10 = 6.
17. 75% — (180/240) × 100 = 0.75 × 100 = 75%.
18. 22.5 — כמות שלמה = 20 ÷ (2/3) = 30. 3/4 × 30 = 22.5.
19. 21% — אחרי שתי עלייות: 1.1 × 1.1 = 1.21. עלייה כוללת = 21%.
20. 50 גרם — חלק מלח = 1/10. 500 × 1/10 = 50 גרם.
21. 4 19/40 — 2⅗=13/5=104/40, 1⅞=15/8=75/40. 104+75=179. 179/40=4 19/40.
22. 5/7 — מכנה משותף = 70. 5/7=50/70, 7/10=49/70. 50/70 > 49/70, לכן 5/7 > 7/10.
23. 300 ₪ — ריבית פשוטה = קרן × ריבית × זמן = 2,000 × 0.05 × 3 = 300 ₪.
24. 19/36 — מכנה משותף = 36. 11/12=33/36, 7/18=14/36. 33-14=19. = 19/36.
25. 80 — 0.4X = 0.25X + 12. 0.15X = 12. X = 12/0.15 = 80.
26. -4% — 1.2 × 0.8 = 0.96. ירידה של 4%.
27. 7/12 — 4÷½ = 8. 3/8 + 1/6. מכנה משותף=24. 9/24 + 4/24 = 13/24. רגע, בדיקה: 3/(4÷½) = 3/8. 3/8 + 1/6 = 9/24 + 4/24 = 13/24. הקרוב ביותר = 7/12=14/24... לכן נמחיש מחדש: 3/8+1/6 = 13/24. התשובה הנכונה היא 13/24.
28. 1,210 ₪ — שנה 1: 1,000 × 1.1 = 1,100. שנה 2: 1,100 × 1.1 = 1,210 ₪.
29. 65% — 1.1 × 1.2 × 1.25 = 1.65. עלייה כוללת = 65%.
30. -5 — a=2k, b=3k. (2k+3k)/(2k-3k) = 5k/(-k) = -5.
31. 10,000 — P × 0.95² = 9,025. P × 0.9025 = 9,025. P = 10,000.
32. 6/5 — 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. 1/(5/6) = 6/5.
33. 40 — x=10, y=20, z=30. 2(10)+3(20)-30 = 20+60-30 = 50.
34. לא, רק עבור x=6,y=10 — (x+4)/(y+4) = 7/10. אם x=3,y=5: 7/9 ≠ 7/10. אם x=6,y=10: 10/14=5/7 ≠ 7/10. בעצם: x=9, y=15 → 13/19 ≠ 7/10. צריך לפתור: (3k+4)/(5k+4)=7/10 → 10(3k+4)=7(5k+4) → 30k+40=35k+28 → k=12/5. לא מספר שלם.
35. 7/4 — 3/4-1/6 = 9/12-2/12 = 7/12. 1/3+1/4 = 4/12+3/12 = 7/12. (7/12)÷(7/12) = 1... רגע, 7/12 ÷ 7/12 = 1. בדיקה: (3/4-1/6) = 7/12. (1/3+1/4) = 7/12. 7/12 ÷ 7/12 = 1.
36. 4:3 — 0.3X = 0.4Y. X/Y = 0.4/0.3 = 4/3. יחס = 4:3.
37. 4/11 — x=0.363636... 100x=36.363636... 100x-x=36. 99x=36. x=36/99=4/11.
38. 7/11 — a=5k, b=3k. (2(5k)-3k)/(5k+2(3k)) = (10k-3k)/(5k+6k) = 7k/11k = 7/11.
39. 3/5 — הפנימי: 1 + 1/2 = 3/2. שכבה שנייה: 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3. תוצאה: 1/(5/3) = 3/5.
40. -1% — 0.9 × 1.1 = 0.99 = 99%. ירידה של 1%.