גיאומטריה — כיתה ה׳ (קשה)

פתרונות

1. (4,4) — אם הצלעות מקבילות לצירים, הקודקוד הנגדי לראשית הוא (4,4).
2. 8 — הניצב האנכי על ציר ה־y, מ־(0,0) עד (0,8). אורכו 8.
3. 24 — שטח משולש ישר זווית = (ניצב×ניצב)÷2 = (6×8)÷2 = 24.
4. (7,2) — B נמצא באותו y כמו A ובאותו x כמו C: (7,2).
5. 6 — ערכי x פנימיים: 1,2,3 (3 ערכים). ערכי y פנימיים: 1,2 (2 ערכים). 3×2=6.
6. 5 ימינה — y לא השתנה. x גדל מ־2 ל־7, כלומר תוספת של 5 — הזזה של 5 ימינה.
7. (7,7) — מהמרכז זזים חצי צלע (2) ימינה ו־2 למעלה: (5+2,5+2)=(7,7).
8. נמצאות על אותו קו אנכי — לכל הנקודות אותו ערך x=1, ולכן הן נמצאות על אותו קו אנכי.
9. (7,4) — מוסיפים 5 ל־x ו־3 ל־y: (2+5,1+3)=(7,4).
10. 12 — השטח (a×b)÷2=30. נציב a=5: (5×b)÷2=30 ⇒ 5b=60 ⇒ b=12.
11. 540° — ניתן לחלק מחומש ל־3 משולשים. סכום הזוויות הוא 3 × 180° = 540°.
12. 720° — משושה ניתן לחלק ל־4 משולשים, ולכן סכום הזוויות הוא 4 × 180° = 720°.
13. 120° — סכום הזוויות במשושה הוא 720°. במשושה משוכלל כל הזוויות שוות — 720° : 6 = 120°.
14. 108° — סכום הזוויות במחומש הוא 540°. במשוכלל כל הזוויות שוות — 540° : 5 = 108°.
15. 10 — ממצולע בעל n צלעות ניתן ליצור (n−2) משולשים מקודקוד אחד. עבור n = 12 — 10 משולשים.
16. 90° — סכום הזוויות במרובע 360°. 360° − (90° + 80° + 100°) = 360° − 270° = 90°.
17. 60° — סכום הזוויות במשולש 180°. 180° − (50° + 70°) = 180° − 120° = 60°.
18. כל הצלעות שוות — ארבע זוויות ישרות, צלעות נגדיות מקבילות וסכום זוויות 360° נכונים גם למלבן. רק כל הצלעות שוות מאפיין ייחודי לריבוע.
19. 5 — מכל קודקוד יוצאים אלכסונים לכל הקודקודים שאינם סמוכים — במחומש 5 קודקודים, ויש 5 אלכסונים.
20. 10 — במצולע משוכלל בעל n צלעות, גודל זווית הוא (n−2) × 180° חלקי n. אם הזווית 144°, נקבל n = 10 — מעושר.
21. 0<α<90 — זווית חדה היא זווית שגדולה מ-0° וקטנה מ-90°, לכן 0<α<90.
22. קהה — אם הראשונה חדה (<90°), השנייה = 180° - (<90°) > 90°. ומכיוון שהיא פחות מ-180°, היא קהה.
23. חדות — אם סכום שתי זוויות הוא 90°, כל אחת חייבת להיות קטנה מ-90°, כלומר חדה.
24. 180° — ב-6:00 המחוג הארוך על 12 והקצר על 6 — מנוגדים לחלוטין, יוצרים קו ישר = 180° = שטוחה.
25. 108° — סכום זוויות פנימיות בפנטגון = (5-2)×180° = 540°. כל זווית = 540°÷5 = 108°.
26. 60° — הזווית המשלימה ל-360° היא 360° - 300° = 60°. 60° < 90°, לכן זווית חדה.
27. 72 מ'² — שטח חלק א': 10×6=60. שטח חלק ב': 4×3=12. סך הכל: 60+12=72 מ'².
28. 28 ס״מ — היקף = 8 + 10 + 10 = 28 ס״מ.
29. 25 ס״מ² — שטח כל משולש = 100 ÷ 4 = 25 ס״מ².
30. 150 ס״מ² — אורך = 3k, רוחב = 2k. 2×(3k+2k)=50. 10k=50, k=5. אורך=15, רוחב=10. שטח=150 ס״מ².
31. 52 מ² — 8×5 = 40, 4×3 = 12. 40 + 12 = 52 מ².
32. 121 אריחים — צלע = 44 ÷ 4 = 11 מ׳. שטח = 11² = 121 מ².
33. 24 ס״מ — היקף = 6 + 8 + 10 = 24 ס״מ.
34. 8 ס״מ — שטח = (בסיס × גובה) ÷ 2. 60 = (15 × ג) ÷ 2. 120 = 15ג. ג = 8 ס״מ.
35. חדה — 35° ⇒ חדה.
36. חדה — 37° ⇒ חדה.
37. חדה — 39° ⇒ חדה.
38. חדה — 40° ⇒ חדה.
39. חדה — 42° ⇒ חדה.
40. חדה — 44° ⇒ חדה.