מבחנים מיוחדים — כיתה ה׳ (קשה)

פתרונות

1. 1 — 2 − 1 1/6 = 12/6 − 7/6 = 5/6. לאחר מכן: 5/6 × 12/35 = 60/210 = 2/7. לבסוף: 2/7 × 7/2 = 14/14 = 1.
2. 4 — 2 1/4 = 9/4. 9/4 × 8 = 72/4 = 18. גם: 3 1/2 = 7/2. 7/2 × 4 = 28/2 = 14. לבסוף: 18 − 14 = 4.
3. 7/24 — מספר הבנים: 24 × 1/3 = 8. לומדי מוסיקה: 8 × 7/8 = 7. חלק מהכיתה: 7/24.
4. 88 — נשים: 500 × 12/100 = 60. גברים: 500 − 60 = 440. גברים מעל 50: 440 × 1/5 = 88.
5. 2 — בנים: 36 × 2/3 = 24. בנות: 36 − 24 = 12. אוהבות ציור: 12 × 5/6 = 10. אינן אוהבות: 12 − 10 = 2.
6. 45 — ספרים: 200 × 30% = 60. ספרי ילדים: 60 × 3/4 = 45.
7. 66 — כלל הסדרה מתחלף: ×2, ×3, +3, ×3, +3, ... — 3×2=6, 6×3=18, 18+3=21, 21×3=63, 63+3=66.
8. 18 — כל מספר זוגי-מיקומי כפול ב-2 מהמספר שלפניו: 2→4 (×2), 3→6 (×2), 5→10 (×2), 9→18 (×2). כל מספר אי-זוגי-מיקומי קטן ב-1 מהמספר שלפניו: 3→2 (−1), 4→3 (−1), 6→5 (−1), 10→9 (−1). לכן לאחר 9, כפול ב-2: 9×2=18.
9. 36 — הסדרה היא ריבועים של מספרים טבעיים: 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36.
10. 42 — הסדרה היא n×(n+1): 1×2=2, 2×3=6, 3×4=12, 4×5=20, 5×6=30, 6×7=42. חלופה: ההפרשים 4, 6, 8, 10, 12 גדלים ב-2 בכל פעם, לכן 30+12=42.
11. 9 — a × b = 27 − 7 = 20. זוגות שלמים חיוביים עם a > b ומכפלה 20: (20,1), (10,2), (5,4). הסכומים: 21, 12, 9. כולם מופיעים בתשובות. הסכום הקטן ביותר הוא של הזוג (5,4): a+b = 5+4 = 9, וגם זוג זה הוא הקרוב ביותר (a ו-b הם ספרות חד-ספרתיות). תשובה: 9.
12. 12 — נסו a=3: 13×3 = 39. אז b = 43 − 39 = 4. בדיקה: 13×3+4 = 43 ✓. a×b = 3×4 = 12.
13. 25 — השתמשו בזהות: a² + b² = (a+b)² − 2ab = 7² − 2×12 = 49 − 24 = 25.
14. 2 — נבדוק כל קלף: קלף=1: עמית=שקר, בנני=שקר, כרמל=אמת, דנה=אמת — 2 אמיתות. קלף=2: עמית=אמת, בנני=שקר, כרמל=שקר, דנה=שקר — אמת אחת בלבד ✓. קלף=3: עמית=שקר, בנני=אמת, כרמל=אמת, דנה=שקר — 2 אמיתות. קלף=4: עמית=אמת, בנני=אמת, כרמל=שקר, דנה=שקר — 2 אמיתות. רק קלף=2 נותן בדיוק אמת אחת.
15. 4 — תהא n = מספר תשובות נכונות. מספר שגויות: 6−n. משוואה: 4n − 2(6−n) = 12. 4n − 12 + 2n = 12. 6n = 24. n = 4.
16. 20 — יהי גיל שמעון = s. ראובן = 2s. לוי = s − 4. סכום: 2s + s + (s−4) = 36. 4s − 4 = 36. 4s = 40. s = 10. ראובן = 2×10 = 20.
17. 0.05 ≤ x ≤ 0.20 — 0.05 ≤ 1/4 − x ≤ 0.20. 1/4 = 0.25. חסרו 0.25 מכל אגפים והפכו כיוון: 0.25 − 0.20 ≤ x ≤ 0.25 − 0.05, כלומר 0.05 ≤ x ≤ 0.20.
18. 25 — ציון מרבי: 95. ציון מזערי: 70. טווח = 95 − 70 = 25.
19. 6 — סדרו בסדר עולה: 4, 4, 6, 7, 9. ב-5 ערכים, הערך האמצעי הוא במיקום השלישי: 6.
20. 10 — סכום: 12 + 8 + 15 + 5 = 40. מספר קבוצות: 4. ממוצע: 40 ÷ 4 = 10.
21. 7 — המספר הוא בצורת a0b, כאשר a + 0 + b = 7, a ∈ {1,...,9}, b ∈ {0,...,9}. אז a + b = 7. הזוגות: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0) — סה״כ 7 מספרים: 106, 205, 304, 403, 502, 601, 700.
22. 8 — מספר מתחלק ב-9 אם סכום ספרותיו מתחלק ב-9. 3 + x + 7 = 10 + x. כדי ש-10 + x = 18, נקבל x = 8. בדיקה: 3+8+7 = 18, 18÷9 = 2 ✓.
23. 7 — n/4 ∈ {1, 2, ..., 9} ו-n דו-ספרתי. לכן n ∈ {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36}. מהם דו-ספרתיים (≥10): 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 — סה״כ 7 מספרים.
24. 40 סמ — 3 משולשים × 3 צלעות = 9 צלעות בסה״כ. 2 צלעות משותפות (בין משולש 1 ל-2 ובין משולש 2 ל-3) — כל אחת מוסרת 2 צלעות מהיקף. צלעות חיצוניות: 9 − 2×2 = 5. היקף = 5 × 8 = 40 ס״מ.
25. 26 — יהי האמצעי = s. הגדול = 2s. הקטן = s − 4. סכום: (s−4) + s + 2s = 36. 4s − 4 = 36. 4s = 40. s = 10. קטן=6, אמצעי=10, גדול=20. בדיקה: 6+10+20=36 ✓, 20=2×10 ✓, 10=6+4 ✓. גדול + קטן = 20 + 6 = 26.
26. 1/8 — מכנה משותף 8: 7/8 − 2/8 − 4/8 = 1/8.
27. 32 — 9.6 ÷ 0.3 = 96 ÷ 3 = 32.
28. 6.3 — 42×15=630, שתי ספרות אחרי הנקודה: 6.30 = 6.3.
29. 60 — 10% = 20. 30% = 60.
30. 80 — 5% = 1/20. 4 × 20 = 80.
31. 7 — מ-−3 ל-4 ההפרש הוא 7 יחידות.
32. 5 — 3 − (−2) = 5 קומות.
33. 17 — 2³ = 8, 3² = 9. 8 + 9 = 17.
34. 144 — 12² = 12 × 12 = 144.
35. 200 — 80 × 2.5 = 200.
36. 20 — 4 חברים × 1 + דנה × 2 = 6 חלקים. 60 ÷ 6 = 10. דנה: 20.
37. 15 — אדומים 12, צהובים 9. סה"כ 21. לבנים 36−21=15.
38. 120 — פנס: 6×4=24. 5 פנסים: 24×5=120.
39. 36 — אדומות: 48. נשארו 72. חצי = 36.
40. 125 — 50 × 2.5 = 125 ק"מ.