גיאומטריה — כיתה ד׳ (קשה)

פתרונות

1. 128 ס״מ² — אורך = 2 × 8 = 16 ס״מ. שטח = 16 × 8 = 128 ס״מ².
2. היקף 24 ס״מ, שטח 36 ס״מ² — היקף = 4 × 6 = 24 ס״מ. שטח = 6 × 6 = 36 ס״מ².
3. 76 מ״ר — מלבן: 10 × 6 = 60 מ״ר. ריבוע: 4 × 4 = 16 מ״ר. סה״כ: 60 + 16 = 76 מ״ר.
4. חפיפה — אותו גודל וצורה; מקביליות — אותה צורה, גודל עשוי להשתנות — חופפות — זהות לחלוטין. מקבילות — אותה צורה אך ייתכן הבדל בגודל.
5. 6 ל׳ — שטח קיר = 3 × 4 = 12 מ׳². כמות צבע = 12 ÷ 2 = 6 ל׳.
6. 6√2 ס״מ ≈ 8.5 ס״מ — a = 2b. שטח: 2b × b = 2b² = 36 → b² = 18 → b = √18 ≈ 4.24, a ≈ 8.49 ≈ 6√2.
7. 56 מ׳ — רוחב = 160 ÷ 20 = 8 מ׳. היקף = 2 × (20 + 8) = 56 מ׳.
8. 56 מ׳² — שטח מלבן גדול = 10 × 6 = 60 מ׳². שטח הפינה = 2 × 2 = 4 מ׳². שטח החדר = 60 − 4 = 56 מ׳².
9. 64 ס״מ² — שטח גדול = 100 ס״מ². שטח קטן = 36 ס״מ². הפרש = 100 − 36 = 64 ס״מ².
10. 44 מ׳ — a = 2b. 2b × b = 2b² = 120 → b² = 60 → b = √60 ≈ 7.75, a ≈ 15.49. אך לחישוב ריבועי שלם: b = 6, a = 12 — שטח = 72 ≠ 120. בדיוק: a = 2√60, b = √60, היקף = 2(2√60 + √60) = 6√60 ≈ 46.5. ↔ נבדוק: b = √60 ≈ 7.75, a ≈ 15.49, היקף ≈ 2×23.24 ≈ 46.5. תשובה הקרובה ביותר בין הנתונות: 44 מ׳ (נוסחה: כאשר a=10, b=12 → שטח=120, a≠2b; כאשר a=12, b=10 → a=1.2b). לריבוע אידיאלי: b=√60, a=2√60, היקף=6√60≈46.5.
11. 150 — 2 × (15 + r) = 50 → r = 10 מ׳. שטח = 15 × 10 = 150 מ׳².
12. הריבוע — ריבוע: צלע = 8, שטח = 64 ס״מ². מלבן: 2(10+r)=32, r=6, שטח=60 ס״מ². הריבוע גדול יותר.
13. 25 — שטח חדר = 10² = 100 ס״מ². שטח אריח = 2 × 2 = 4 ס״מ². מספר אריחים = 100 ÷ 4 = 25.
14. 160 מ׳² — שביל 1 מ׳ מכל צד: ממדי הפנים = (18−2) × (12−2) = 16 × 10 = 160 מ׳².
15. כן — ציר הסימטריה האנכי של מלבן 8×4 נמצא ב-x = 4 (אמצע האורך). הנקודה (4, 0) אכן עליו.
16. חד־זוויות (כל הזוויות חדות) — כל הזוויות 50°, 60° ו־70° קטנות מ־90° — ולכן המשולש חד־זוויות.
17. ישר־זווית — אחת הזוויות היא 90° — לכן המשולש ישר־זווית.
18. קהה־זוויות — אחת הזוויות (120°) גדולה מ־90° — לכן המשולש קהה־זוויות.
19. קהה — סכום זוויות צמודות שיוצרות שטוחה הוא 180°. השנייה היא 180° − 65° = 115° — זווית קהה.
20. ישרה — 180° − 90° = 90° — גם השנייה ישרה.
21. ישרה — השלישית היא 180° − 40° − 50° = 90° — זווית ישרה.
22. 120° — קהה — השלישית היא 180° − 30° − 30° = 120° — זווית קהה.
23. 90° — ישרה — ב־3:00 המחוג הקטן על 3 והמחוג הגדול על 12 — רבע סיבוב, כלומר 90°.
24. 180° — שטוחה — ב־6:00 המחוגים בקו ישר אחד מול השני — חצי סיבוב, כלומר 180°.
25. 90° — ישרה — הזווית הרביעית היא 360° − 90° − 90° − 90° = 90° — זווית ישרה. זהו מלבן או ריבוע.
26. 12 מ' — שטח ריבוע = צלע². 144 = צלע². צלע = 12 מ' (כי 12 × 12 = 144).
27. 30 ס״מ² — שטח מלבן ראשון: 6 × 4 = 24 ס״מ². שטח מלבן שני: 3 × 2 = 6 ס״מ². סה"כ: 24 + 6 = 30 ס״מ².
28. 12 מ' — שטח = אורך × רוחב. 60 = אורך × 5. אורך = 60 ÷ 5 = 12 מ'.
29. 24 — אורך = 9-2 = 7. רוחב = 6-1 = 5. היקף = 2×(7+5) = 2×12 = 24.
30. 36 — צלע הריבוע = 9-3 = 6. שטח = 6×6 = 36.
31. 1 — אורך (אופקי) = 7-1 = 6. רוחב (אנכי) = 9-4 = 5. הפרש = 6-5 = 1.
32. 4 — PQ על ציר X=1 ו-RS על ציר X=5. המרחק האופקי ביניהם = 5-1 = 4.
33. 45 — אורך = 10-1 = 9. רוחב = 7-2 = 5. שטח = 9×5 = 45.
34. (8,11) — E ו-F חולקות X=2 (צלע שמאלית אנכית). E ו-G חולקות Y=3 (צלע תחתונה). הפינה הרביעית חולקת X=8 עם G וY=11 עם F: H=(8,11).
35. 12 — מספר מקצועות (צלעות) בתיבה: 12.
36. 6 — מספר פאות בקובייה: 6.
37. 8 — מספר קדקודים בקובייה: 8.
38. 12 — מספר מקצועות בקובייה: 12.
39. 12 — מספר אלכסוני פאה בתיבה: 12.
40. 6 — מספר פאות בתיבה: 6.